【算法笔记】acm数学基础

最新推荐文章于 2022-05-28 11:33:17 发布

slowlight93

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分类专栏： ACM.算法笔记

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本文深入探讨了算法和数据结构在计算机科学中的核心应用，涵盖了从基本的数据结构如数组、链表到高级算法如排序、动态规划的详细解析。通过实际案例，展示了这些概念在解决实际问题中的关键作用，旨在提升读者的编程技能和解决问题的能力。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

// gcd拓展 an + bm = gcd(a, b)
int ext_gcd(int &a, int n, int &b, int m)
{
    if (m == 0) {
        a = 1; b = 0;
        return n;
    }
    int d = ex_gcd(b, m, a, n%m);
    b -= n / m * a;
    return d;
}

模运算

// 利用用裴蜀恒等式求逆元
// a = 1(mod p) -> ax + py = 1
// 逆元不存在返回-1
 getInverse(LL a, LL p) {
    LL d, x, y;
    d = ext_gcd(x, a, y, p);
    if (d == 1) return -1;
    return x < 0 ? x+p : x;
}

// 快速幂取模 java
public long fast_pow_mod(long x, int n) {
        long ret = 1;
        while (n > 0) {
            if ( (n&1) != 0 ) ret = ret * x % Mod;
            n >>= 1;
            x = x * x % Mod;
        }
        return ret;
    }

// a = 1 (mod P)，当P为素数时，利用费马小定理求逆元
int inv = fast_pow_mod(a, P-2);

///////// 组合数 ////////////
求解 $C^k_n\ mod\ P$
如果n较小，n <=5000，直接利用帕斯卡三角形打表。
利用等式 $(^n_k)={n \over k}(^{n-1}_{k-1})$ ，时间复杂度为O(n)

// 求解C(n, k)
k = min (k, n-k);       // 取计算量较少的一边
long ans = 1;           // C(n-k, 0)
long long x = 1, y = 1;
long xs = 1, xt = k;
long ys = n-k+1, yt = n;
// (n-k+1)/1 * (n-k+2)/2 * ... * n/k
for (long i = xs;i <= xt;++ i) x = x * i % Mod;
for (long i = ys;i <= yt;++ i) y = y * i % Mod;
ans = y * fast_pow_mod (x, Mod-2) % Mod;