10、二进制减法与补码系统：原理与应用

二进制减法与补码系统：原理与应用

1. 减法运算的挑战与解决方案

在进行数字运算时，加法和减法是基础操作，但它们的机制有很大不同。加法是从最右边的数字列向最左边的数字列依次进行，每一列的进位会加到下一列；而减法需要借位，这是一种更为复杂的操作。

例如，计算 253 - 176 时，传统减法需要借位，过程较为繁琐。为了避免借位，我们可以采用一种巧妙的方法：将减法转化为加法。具体步骤如下：
1. 把减法问题改写为一个正数加上一个负数的形式： -176 + 253。
2. 引入两个额外的数（一个正数和一个负数），使问题变为四个数的加法：1000 - 176 + 253 - 1000。
3. 由于 1000 等于 999 + 1，我们可以先从 999 开始计算，再加上 1：999 - 176 + 253 + 1 - 1000。
4. 第一步计算 999 - 176，得到 823，这个过程不需要借位。这里，从一串 9 中减去一个数得到的结果称为该数的九补数，176 的九补数是 823，反之亦然。
5. 接着进行加法运算：823 + 253 = 1076，然后 1076 + 1 = 1077，最后 1077 - 1000 = 77。

当减去一个较大的数时，例如 176 - 253，我们可以先交换两个数的位置，再使用同样的方法：
1. 交换位置后得到 -253 + 176，然后加上 999 并在最后减去 999：999 - 253 + 176 - 999。
2. 计算 999 - 253 得到 746，再加上 176 得到 922，最后 922 - 999。由于我们交换了符号来计算九补数，最终结果是 -77。

<