34、离散时间系统的状态方程及相关特性分析

离散时间系统的状态方程及相关特性分析

1. 离散时间系统的对角形式（并行形式）模型

在离散时间系统中，系统传递函数具有重要意义。考虑如下形式的系统传递函数：
[H[z] = \frac{b_0z^N + b_1z^{N + 1} + \cdots + b_{N - 1}z + b_N}{z^N + a_1z^{N + 1} + \cdots + a_{N - 1}z + a_N}]
它可以进一步转化为：
[H[z] = b_0 + \frac{b_1z^{-1} + \cdots + b_{N - 1}z^{-(N - 1)} + b_Nz^{-N}}{1 + a_1z^{-1} + \cdots + a_{N - 1}z^{-(N - 1)} + a_Nz^{-N}} = b_0 + \frac{A_1}{(z - \lambda_1)} + \cdots + \frac{A_N}{(z - \lambda_N)}]
其中，(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n) 是 (H[z]) 的不同特征值。

从对应的模型图中，可以写出如下状态方程：
[\begin{cases}
x_1[n + 1] = \lambda_1x_1[n] + u[n]\
x_2[n + 1] = \lambda_2x_2[n] + u[n]\
\cdots\
x_N[n + 1] = \lambda_N x_N[n] + u[n]
\end{cases}]
输出方程为：
[y[n] = A_1x_1[n] + A_2x_2[n] + \cdots + A_N x_N[