经典算法之0-1背包问题

0-1背包算法是非常经典的一个算法问题，可惜我一直都只会它的递归算法，而非递归算法是今天刚刚学会的，在此记录一下。

定义一个二维数组 maxValues[ ][ ] 用来记录最大价值，maxValues[i][V]表示从前i 件物品中选择物品放入容量为V 的背包可以得到的最大价值。那么就有方程 maxValues[i][V] = max{ maxValues[i-1][V], maxValues[i-1][V-ws[i]] + values[i] } （其中ws[i] 表示第i 个物品所占空间，values[i] 表示第i 个物品的价值），下面来解释下这个方程：

每个物品都只有两种选择：放入背包或不放入。当考虑第i 个物品是否放入的时候，若我们选择放入，则可得到的价值是第i 个物品的价值再加上剩余的空间在i-1个物品中选择时可以得到的最大价值，若选择不放入，得到的价值就是现有空间在i-1个物品中选择时可得到的最大价值，显然，我们要选价值最大的那个。

下面再来优化一下，观察一下二维数组maxValues，则可发现maxValues[i-1][y]只在计算maxValues[i][x] 的时候有用(y<=x)，计算完就没用了，所以这个空间我们可以省下来，直接用maxValues[i][x] 覆盖maxValues[i-1][x] 就可以，因此maxValues可以改为一维数组。

下面是0-1背包算法的递归算法代码以及非递归算法代码：

package classic;

import java.util.Scanner;

public class Pacage1 {

	private static int[] ws = null;
	private static int[] values = null;
	private static int W = 0;
	private static int items = 0;

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		W = sc.nextInt();//背包的最大空间
		items = sc.nextInt();//总共有多少件物品
		ws = new int[items];
		values = new int[items];
		for(int i=0; i<items; i++){//依次读入每个物品的大小和价值
			ws[i] = sc.nextInt();
			values[i] = sc.nextInt();
		}

		int maxValue = maxValue(items-1, W);
		System.out.println("最大可装价值为："+maxValue);
		sc.close();
	}

	private static int maxValue(int curItem, int remainW) {
		if(curItem < 0)
			return 0;
		if(remainW < ws[curItem]){
			return maxValue(curItem-1, remainW);//装不下当前的，试试下一个
		}
		return Math.max(maxValue(curItem-1, remainW), 
				maxValue(curItem-1, remainW-ws[curItem])+values[curItem]);
	}

}

 

package classic;

import java.util.Scanner;

public class Pacage2 {
	
	private static int[] ws = null;
	private static int[] values = null;
	private static int W = 0;
	private static int items = 0;

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		W = sc.nextInt();//背包的最大空间
		items = sc.nextInt();//总共有多少件物品
		ws = new int[items];
		values = new int[items];
		for(int i=0; i<items; i++){//依次读入每个物品的大小和价值
			ws[i] = sc.nextInt();
			values[i] = sc.nextInt();
		}
		int[] maxValues = new int[W+1];
		int maxValue = 0;
		for(int i=0; i<items; i++){
			for(int j=W; j>0; j--){
				if(j-ws[i]<0){
					break;
				}
				maxValues[j] = Math.max(maxValues[j], maxValues[j-ws[i]]+values[i]);
				if(maxValues[j]>maxValue)
					maxValue = maxValues[j];
			}
		}
		System.out.println("最大可装价值为："+maxValue);
		sc.close();
	}
}