大厂/软考经典算法：0-1背包问题 动态规划法

动态规划

动态规划与分治法类似，就是将一个大的问题不断的向下拆分成一些小的问题，知道拆分的小问题可以求出解，然后再将这些小问题的解向上合并，最终得到大问题的解决方案。

背包问题

背包问题是经典算法，主要有 0-1背包，普通背包（多重背包，完全背包）
一般来说0-1背包问题使用动态规划求解，使用贪心算法的无法获得最优解。

0-1背包：

问题描述：

一个旅行者有一个最多能装M公斤的背包，现在有N个物品，每件的重量分别是W1、W2、… 、Wn，每件物品的价值分别为C1、C2、…、Cn，现需要将物品放入到背包中，要怎样才能保证背包中的总价值最大？

思路：

0-1背包，顾名思义就是只有两种选择，一种是拿，另一种是不拿。
假设参数：
w[n]：第n个物品的重量；
p[n]：第n个物品的价值；
v[n][j]：在前n个物品中，总重量为j时的最大价值；
v[n-1][j-w[n]]：在n-1个物品中，加入第i个物品后的承重容量下的最大价值；
分析：
在加入第n件物品前，考虑要不要加进去，不加进去，就是v[n][j]=v[n-1][j-w[n]]；如果加进去，就是v[n][j]=v[n-1][j-w[n]]+p[n]

例题

现有5个物品，小王的书包最多只能装8公斤，他想要使自己的书包能装下且得到的价值最大。

物品	重量	价值
1	6公斤	48元
2	1公斤	7元
3	5公斤	40元
4	2公斤	12元
5	1公斤	8元

解题思路

正常思维，装满8公斤求最大价值，使用递归来解，但算法难度高。
使用动态规划来做，其实就是逆向思维。
想要把8公斤装满且价值最大，可以先考虑装1公斤的最大价值，再考虑装2公斤的最大价值，再考虑装3公斤的最大价值，把前面的都记录下来。用另一个数组temp[n][j]记录下来。n表示出现的物品的数量，当n循环到最后一个数量的时候就结束。
虽然有5件物品，但先给一件，自己判断能不能装下，能装下就判断一下装和不装哪个价值更高，然后记录下来。

重量	价值	1	2	3	4	5	6	7	8
6	48	0	0	0	0	0	48	48	48
1	7	7	7	7	7	7	48	55	55
5	40	7	7	7	7	40	48	55	55
2	12	7	12	19	19	40	48	55	60
1	8	8	15	20	27	40	48	56	63

思路：横着看，只装一件物品，第一件是6公斤，到6的时候可以装下，所以temp[1][6]=48，到7，8的时候也只有这一件物品，所以价值还是48。
到第二个物品，为1公斤，1个价值是7，所以temp[2][1]=7,一直到temp[2][5]价值都是7。到了temp[2][6]的时候，还是第一件物品的价值更大，所以temp[2][6]=48。到了7，8的时候，背包的容量增加，除了能取到第一件重量是6的物品外，还能取到第二件重量是1的物品，所以temp[2][7]=55，8与之类似。

代码实现

import java.util.Scanner;

/**
 * @author 壹棵白杨
 */
public class knapsack {
    static int[] w = new int[6];//每件物品的重量
    static int[] p = new int[6];//每件物品的价值
    public static void solution(){

        int[][] temp = new int[6][9];//9表示背包最多能放8公斤的重量
        for(int j = 0;j < 9;j++){//初始化每一行
            temp[0][j] = 0;
        }
        for(int i = 1;i < 6;i++){//背包重量为0时，最大价值肯定是0
            temp[i][0] = 0;
        }

        for(int i = 1;i < 6;i++){//从第一个物品开始选，记录选了前面出现的物品，背包重量从1-8的能选上的最大值
            for(int j = 1;j < 9;j++){//当i循环到最后一层5的时候，也就是得到了，5件物品都选上的时候的最大值
                if(w[i] <= j){//重量比这个状态小，那么就能放。就是放与不放的问题，观察室放重量大还是不放重量大
                    temp[i][j] = Math.max(temp[i-1][j], temp[i-1][j-w[i]]+p[i]);
                }else{
                    temp[i][j] = temp[i-1][j];//第i件物品不能放
                }
            }
        }
        for(int i = 0;i < 6;i++){
            for(int j = 0;j < 9;j++){
                System.out.print(temp[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("请依次输入重量和价值(例如：0 回车 0 回车):");
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        for (int i = 0; i < 6; i++) {
            w[i] = scanner.nextInt();
            p[i] = scanner.nextInt();
        }
        solution();



    }
}