经典算法问题——“0” “1”背包问题

对于“”0 “ 1”背包问题相信大家对于网上的问题一定找了很多，无非两种算法，即——

（1）方向为从上到下的进行输出的问题

 （2）方向为从下到上的一次输出的问题

 

V为所放入的物品的价值所在    W为所放入的物品的容量     

C设为背包的总容量

v1=1	v2=3	v3=5	v4=9
w1=2	w2=3	w3=4	w4=7

 

如何根据给出的填充好下面的表格：

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4

其中I对应的列为物品数目（我列举的例子中只放入了三个物品，所以对应的行有四行）

其中j对应的行为物品数目（我列举的例子中只放入了三个物品，所以对应的行有10列  ）

PS：其中“0列”  只是为了补位用的 ，可根据需要进行相应的应用或者不用

 

具体的规则如下：    m（i，j）=  m（i+1，j）       j<w(i)     //不放入物品时候执行的方法

                                                 = Max【m（i+1，j）;m(i+1,j-w(i))+v（i）】  j>w(i)     //放入物品时候的执行的方法

 

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4	0	0	0	0	0	0	0	9	9	9	9

对于执行方法 m（i，j）=m（i+1，j）时 此时需要注意的是，执行的顺序的从最下面进行相应的执行，一行一行的进行填充，第四个为最小的单元，为第一个放入包中的物品。

对于网上还有资料进行展示的是m（i，j）=m（i-1，j）时候此时需要注意的是，执行的顺序的从最上面进行相应的执行，即第一个物品为最小的单元，为第一个放入包中的物品。

同时！！！！！！需要注意的是 ：每一行事实上只有放一个物品    一定要摆脱每一行可以放很多物品的错误想法

 

具体执行的方法：    1.考虑 j 的容量和物品的容量的w（i）大小关系     

           若w（i）>j  则物品不放入

          若w（i）<j  则物品有两种选择 ：   

        （1）放入；则需要比较Max【m（i+1，j）;m(i+1,j-w(i))+v（i）】取其中的最大值       

                v（i）为当前你需要放入背包的物品的价值

         (2) 不放入，则只需要在相应的位数计算m（i，j）=  m（i+1，j）的数值大小进行填充  

 

本题中对于第一行也就是第四个物品所对应的行来说；物品4的重量为7，即所需要的最小的j应该为7 所以对应的7前面的所有数值都为   “0”   ，因为背包的容量较小，而所放入的物品的容量过大，大于j的数值，所以为0   ，

同时对于背包容量为7的时候，正好满足w（4）的数值，所以能放入进背包，此时对应的价值为 9 ，填入表中，

而对于基础行来讲，一旦物品放入了，则背包中就满足了4进入了背包，由于之前说到，要明确每一行只是填充一个物品，所以，对于 j==7 之后的背包的价值都为9，按顺序填充即可。

<!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!>

同理第二行，即数字三所对应的行来讲，一样的重复上述操作：

（1）首先看w（3）和j的关系找到最低的要求能放入的对应的“J”，不满足的补充为零,

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3	0	0	0	0	5
4	0	0	0	0	0	0	0	9	9	9	9

 

（2）查询可知道w（3）=4 所以最低的需要的  “ j ”至少为 4   ，故4之前的都填充为 0 

（3）对于4之后的数字需要执行的是与基础行有所不同，此时背包容量满足能放入的条件

故：需要执行Max【m（i+1，j）;m(i+1,j-w(i))+v（i）】取其中的最大值 来确定所需要填充的数值，

m（3,4）=m（3+1，4）=0              m（3,4）=m（3+1，4-w（3））+v（3）=m（4，0）+5 = 5

    此时m（3,4）中所需要填充的数值为两者中的max数值，所以max=5  故m（3,4）=5

 

后面的数值则依次执行相应的操作即可   确定m（3,5）   依次填充完对应的“第二行”的数值即可          

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3	0	0	0	0	5	5	5	9	9	9	9
4	0	0	0	0	0	0	0	9	9	9	9

 

同理：对于倒数第三行来讲则执行与倒数第二行一样的操作即可

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2	0	0	0	3	5	5	5	9	9	9	12
3	0	0	0	0	5	5	5	9	9	9	9
4	0	0	0	0	0	0	0	9	9	9	9

 

此方法中最后的原问题是最右上角的问题，最后的表格为如下图所示

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	0	1	3	5	5	6	9	9	10	12
2	0	0	0	3	5	5	5	9	9	9	12
3	0	0	0	0	5	5	5	9	9	9	9
4	0	0	0	0	0	0	0	9	9	9	9

 

具体细节如上图所示（前提是执行的为m（i，j）=m（i+1，j））

 

二.备忘录

“0 1 背包问题中 ”填充的x（i）为是否放入的说明，只有两个默认的数值，一个为“ 0 ” 表示没放入背包

一个为“1”表示放入了背包，比较方法如下：     

若m（i，j） == m（i+1，j）数值相同说明没放入背包 ，填入备忘录的数值为   0

若m（i，j） ！= m（i+1，j）数值相同说明放入背包，填入备忘录的数值为   1

 

 

m（i，j）	m（i+1，j）	x（i）
m（3,7）	m（4,7）	0
m（1,6）	m（2,6）	1

上述表中数值只是为了说明如何进行填充的方法，具体顺序视题目而定

《《》《》《》《》《》《》《《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》《》

最后呢：

补充！！！！！！！！！！！！！！！！

而对于网络上很多执行的m（i，j）=m（i-1，j）时候则基础行转为第一行所对应的数值即可，第一行的第一个物品为最小子元素，最右下角为原问题，其他操作与上述方法一样

 

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