【深度优先遍历】力扣 99. 恢复二叉搜索树

恢复二叉搜索树的基础知识与原理

在讨论如何恢复二叉搜索树之前，我们需要先了解二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）的一些基本概念。二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点都有以下性质：

• 对于任意节点 Node，其左子树上所有节点的值都小于 Node 的值。
• 其右子树上所有节点的值都大于 Node 的值。

中序遍历与二叉搜索树的性质

二叉搜索树的一个重要性质是，如果对其进行中序遍历（Inorder Traversal），即按照“左子树 -> 根节点 -> 右子树”的顺序遍历所有节点，得到的序列是升序排列的。

恢复二叉搜索树的思路

给定一棵二叉搜索树，其中恰好有两个节点的值被错误地交换了，导致整个树不再满足BST的性质。我们的任务是找出这两个节点并将其交换回来，使得树再次成为合法的二叉搜索树。

因为中序遍历能够产生一个升序排列的序列，所以我们可以通过中序遍历来检查这个序列是否有序。一旦发现不符合升序排列的部分，就可以确定是这两个节点的位置出了问题。

中序遍历中出现的错误情况分析

假设我们通过中序遍历得到了一个错误的序列。我们可以用以下思路来恢复树：

1. 遍历中第一次发现逆序对时，可以确定较大的节点是第一个错误节点（i）。
2. 遍历中第二次发现逆序对时，可以确定较小的节点是第二个错误节点（j）。

特别情况：有时两个错误节点可能是相邻的。在这种情况下，我们只会发现一次逆序对，这时第一个错误节点（i）是较大的节点，第二个错误节点（j）是较小的节点。

1. 交换这两个节点的值，就可以恢复这棵树。

举个简单的例子：

假设有这样一棵二叉搜索树：

    3
   / \
  1   4
     /
    2

正常情况下，按照中序遍历，应该得到序列 [1, 2, 3, 4]，但由于节点值 2 和 3 被错误地交换了，实际得到的序列是 [1, 3, 2, 4]。

步骤：

• 首先，中序遍历到1，没有问题。
• 接着，遍历到3，仍然没问题。
• 当遍历到2时，发现3 > 2，这是第一个也是唯一的逆序对，确定3是第一个错误节点（i），2是第二个错误节点（j）。

此时，我们只需要交换3和2，恢复成正确的树结构：

    2
   / \
  1   4
     /
    3

中序遍历得到的序列为[1, 2, 3, 4]，树恢复正常。

代码实现

下面是C++代码的实现：

class Solution {
public:
    TreeNode* pre = nullptr;
    TreeNode* i = nullptr;
    TreeNode* j = nullptr;
    void dfs(TreeNode* root) {
        if (!root) return;
        dfs(root->left);
        if (pre && pre->val > root->val) {
            if (!i) i = pre;
            j = root;
        }
        pre = root;
        dfs(root->right);
    }
    void recoverTree(TreeNode* root) {
        dfs(root);
        if (i && j) swap(i->val, j->val);
    }
};

总结

这道题的关键在于理解二叉搜索树的性质和中序遍历的特性，通过检测逆序对来找到被错误交换的两个节点，进而将其恢复。这种思路能够覆盖所有可能的错误节点排列情况，并且实现起来也相对简单，是解决这类问题的有效方法。