LOJ #10222. 「一本通 6.5 例 4」佳佳的 Fibonacci 题解

本文介绍了LOJ #10222题目——佳佳的Fibonacci问题的解题思路。通过分析递推关系S(n) = S(n-1) + F(n),并结合Fibonacci数列的性质F(n) = F(n-1) + F(n-2),得出S(n) = S(n-2) + F(n)。最后利用矩阵加速的方法求解T(n)。

LOJ #10222. 「一本通 6.5 例 4」佳佳的 Fibonacci

#10222. 「一本通 6.5 例 4」佳佳的 Fibonacci

首先直接对于这个题目不好入手,我们不妨看看题目中 S ( n ) S(n) S(n) 是否有递推式,因为 T ( n ) = ∑ i = 1 n S ( n ) − S ( i − 1 ) T(n) = \sum_{i = 1} ^ n S(n) - S(i - 1) T(n)=i=1nS(n)S(i1)

这个说实话挺显然的。

首先会想到 S ( n ) − S ( n − 1 ) = F ( n ) S(n) - S(n - 1) = F(n) S(n)S(n1)=F(n) 但是这个没有什么作用,不过考虑 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n) = F(n- 1) + F(n - 2) F(n)=F(n1)+F(n2) 那么这个 S ( n ) S(n) S(n) 是否也可以拆成这样类似的形式。

考虑 S ( n ) = S ( n − 1 ) + F ( n ) S(n) = S(n - 1) + F(n) S(n)=S(n1)+F(n) 之后我们考虑 F ( n ) F(n) F(n) 能否拆分成若干个数的和,显然是可以的 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) F(n)=

可并堆是一种支持合并操作的堆数据结构,常见的可并堆有左偏树、斜堆、二项堆等。对于 LOJ#P188 可并堆的问题,下面以左偏树为给出解题思路和代码实现。 ### 解题思路 1. **左偏树的性质**: - 左偏树是一种可并堆,它满足堆性质(小根堆或大根堆),即每个节点的值小于(或大于)其子节点的值。 - 左偏树还满足左偏性质,即每个节点的左子树的距离(到最近的叶子节点的距离)不小于右子树的距离。 2. **合并操作**: - 合并两个左偏树时,比较两个根节点的值,将值较大的根节点的树合并到值较小的根节点的右子树中。 - 合并后,检查右子树的距离是否大于左子树的距离,如果是,则交换左右子树,以维护左偏性质。 3. **插入操作**: - 插入一个新节点可以看作是合并一个只有一个节点的左偏树和原左偏树。 4. **删除操作**: - 删除根节点后,将其左右子树合并成一个新的左偏树。 ### 代码实现 ```python class Node: def __init__(self, val): self.val = val self.left = None self.right = None self.dist = 0 def merge(x, y): if not x: return y if not y: return x if x.val > y.val: x, y = y, x x.right = merge(x.right, y) if not x.left or (x.right and x.left.dist < x.right.dist): x.left, x.right = x.right, x.left x.dist = (x.right.dist + 1) if x.right else 0 return x def insert(root, val): new_node = Node(val) return merge(root, new_node) def delete(root): return merge(root.left, root.right) #使用 root = None root = insert(root, 3) root = insert(root, 1) root = insert(root, 5) print(root.val) # 输出堆顶元素 root = delete(root) print(root.val) # 输出删除堆顶元素后的堆顶元素 ```
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