【Loj10222】佳佳的Fibonacci

最新推荐文章于 2023-06-17 05:53:48 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/cj-xxz/p/9879703.html

本文介绍了一种使用矩阵快速幂技巧解决特定类型递推式问题的方法。通过将难以直接表达的递推式转化为矩阵形式，利用快速幂算法高效计算大数递推结果。文章提供了完整的C++代码实现，适用于解决竞赛编程中遇到的复杂递推问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

题解

可以发现\(T(n)\)无法用递推式表示。

于是我们做如下变形：
\[ T(n) = \sum _ {i = 1} ^ n i \times f_i \\ S(n) = \sum _ {i = 1} ^ n f_i \\ \therefore nS(n) - T(n) = \sum _ {i = 1} ^ {n - 1} (n - i)f_i \\ \]
令\(p(n) = nS(n) - T(n)\)

则\(p(n + 1) = p(n) + S(n)\)

用矩阵乘法即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin);freopen(#x".out", "w", stdout);

inline int read()
{
    int data = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
    if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9') data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return data * w;
}

int n, Mod;
inline void Add(int &x, const int &y) { x += y; if(x >= Mod) x -= Mod; }
inline int Mul(const int &x, const int &y) { return 1ll * x * y % Mod; }

template<int N, int M>
struct Matrix
{
    int a[4][4];
    Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
    inline int *operator [] (const int &id) { return a[id]; }

    template<int K> inline Matrix<N, K> operator * (const Matrix<M, K> &b) const
    {
        Matrix<N, K> c;
        for(RG int i = 0; i < N; i++)
            for(RG int j = 0; j < M; j++)
                for(RG int k = 0; k < K; k++)
                    Add(c[i][k], 1ll * a[i][j] * b.a[j][k] % Mod);
        return c;
    }
};

Matrix<1, 4> S;
Matrix<4, 4> T;

int main()
{
    n = read(); Mod = read();
    int Tmp = n;

    S[0][1] = T[0][0] = T[0][1] = T[0][2] = T[1][0] = T[1][2] = T[2][2] = T[2][3] = T[3][3] = 1;
    while(Tmp)
    {
        if(Tmp & 1) S = S * T;
        T = T * T, Tmp >>= 1;
    }

    printf("%d\n", (Mul(n, S[0][2]) - S[0][3] + Mod) % Mod);
    return 0;
}

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