帕塞瓦尔定理(能量守恒定理)

P帕塞瓦尔定理指出，一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。它表明信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变，符合能量守恒定律。







Plancherel's theorem编辑

假定 A( x)和 B( x） 都是平方可积的（参照 勒贝格测度 ）复变函数，且定义在 R 上周期为2π的区间上，分别写成傅里叶级数的形式：

则有：

物理学和工程学上使用的记号

在 物理学 和 工程学 中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:

其中 为 x(t) 的连续傅立叶变换（以归一化酉形式），而f代表x的频率分量（非角频率）

帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。

对于离散时间信号，该理论表达式变换为：

其中，X为x的离散时间傅立叶变换(DTFT)，而Φ为x的角频率（度每样本）。

此外，对于离散傅立叶变换 (DFT)，表达式变换为：

其中，X[k]为x[n]的DFT变换，变换前后样本长度皆为N。