线性代数之——行列式公式及代数余子式

计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 $n!$ 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。

• 主元的乘积为 $2\ast \frac{3}{2}\ast \frac{4}{3}\ast \frac{5}{4}=5$。

• 大公式有 $4!=24$ 项，但只有 5 个非零项。

$$detA=16-4-4-4+1=5$$

16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其余的通过公式我们也都可以找到。

• 代数余子式公式用第一行的数字 2，-1，0， 0分别乘以它们的代数余子式 4， 3， 2， 1，得到 8-3 = 5。

1. 主元公式

消元过程会让主元 $d_1,\cdots ,d_n$ 最后出现在矩阵 $U$ 的对角线上，如果没有行交换，那么有：

$$detA=(detL)(detU)=(1)(d_1{d}_2\cdots d_n)$$

如果有行交换，那么有 $PA=LU$ 而且有 $|P|=\pm 1$，所以

$$detA=\pm (d_1{d}_2\cdots d_n)$$

如果主元的个数少于 $n$，那么 $detA=0$，矩阵是不可逆的。

• 例 1

• 例 2

$$detA=2\ast \frac{3}{2}\ast \frac{4}{3}\ast \frac{5}{4}\cdots \ast \frac{n+1}{n}=n+1$$

而且，我们可以看到，前 $k$ 个主元来自于矩阵 $A$ 左上角大小为 $k\times k$ 的矩阵 $A_k$。

$$det{A}_k=d_1{d}_2\cdots d_k$$

假设没有行交换，那在我们消元的过程中，有 $A_k=L_k{U}_k$，因此

$$\frac{det{A}_k}{det{A}_{k-1}}=\frac{det{U}_k}{det{U}_{k-1}}\to d_k=\frac{d_1{d}_2\cdots d_{k-1}{d}_k}{d_1{d}_2\cdots d_{k-1}}$$

2. 大公式

大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式，一个 $3\times 3$ 矩阵的计算公式如下所示。

注意到，每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列，而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。

由行列式的线性性质我们可以将一个 $2\times 2$ 矩阵的行列式分成四项：

其中，第一个和第四个行列式为 0，因为它们有全零列。因此，只余下 $2!=2$ 项需要计算。

对于一个 $3\times 3$ 的矩阵，其行列式可以分成 27 项，但只有 6 个非零项。

前面三个置换矩阵有偶数次行交换，因此其行列式为 1；而后面三个置换矩阵有奇数次行交换，因此其行列式为 -1。

因此，矩阵 $A$ 的行列式是 $n!$ 项简单行列式的和，每一项的系数是 1 或者 -1，其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。

3. 代数余子式公式

利用行列式的线性性质，我们将第一行的三个元素分别提取出来，可以得到。

其中，括号里面的项称为代数余子式（cofactor），它们是 $2\times 2$ 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 $a_{11}，a_{12}，a_{13}$，余下的行贡献出代数余子式 $C_{11}，C_{12}，C_{13}$，然后行列式的值就是 $a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+a_{13}{C}_{13}$。

接下来，我们需要注意符号。要计算 $C_{1j}$，我们划掉第 $1$ 行第 $j$ 列来产生一个大小为 $n-1$ 的子矩阵 $M_{1j}$，然后

$$C_{1j}=(-1{)}^{1+j}det{M}_{1j}$$

$$detA=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+\cdots +a_{1n}{C}_{1n}$$

注意，对其它行来说，也有同样的情况。对 $C_{ij}$ 来说，我们划掉第 $i$ 行第 $j$ 列来产生一个大小为 $n-1$ 的子矩阵 $M_{ij}$。

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}det{M}_{ij}$$

$$detA=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+\cdots +a_{in}{C}_{in}$$

同时，行列式也可以沿着某一列进行计算。

$$detA=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+\cdots +a_{nj}{C}_{nj}$$

代数余子式公式在矩阵中有许多零时是非常有用的。

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