线性代数-行列式公式与代数余子式

行列式公式与代数余子式

行列式是一个数值，能够刻画矩阵的许多重要特性，如矩阵是否可逆、特征值等。行列式的计算方法有很多种，其中 代数余子式（Algebraic cofactor）是其中一种重要的计算方法。接下来，我们将详细讨论行列式的公式以及代数余子式的定义。

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1. 行列式的定义与公式

1.1 行列式的计算

对于一个 n×n 的方阵 A = [aᵢⱼ]，它的行列式 det(A) 可以通过 代数余子式 和排列符号展开得到。行列式的计算公式一般采用递归展开法。

1.2 二阶行列式（2x2 矩阵）

对于一个 2×2 方阵：

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

其行列式为：

$$\text{det}(A)=ad-bc$$

这是最基础的行列式计算公式。

1.3 三阶行列式（3x3 矩阵）

对于一个 3×3 方阵：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$$

其行列式可以通过展开第一行来计算：

$$\text{det}(A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$$

这个展开过程是对 A 第一行的代数余子式展开。

1.4 一般 n×n 方阵的行列式

对于一个 n×n 的矩阵 A = [aᵢⱼ]，行列式的计算是通过递归展开得到的。具体的计算公式为：

$$\text{det}(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}\cdot \text{det}(A_{ij})$$

这里：

• aᵢⱼ 是矩阵 A 中的元素。
• A_{ij} 是通过删除 A 中的第 i 行和第 j 列得到的 (n-1)×(n-1) 子矩阵。
• (-1)^{i+j} 是排列符号，用于调整符号。

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2. 代数余子式（Cofactor）

2.1 代数余子式的定义

代数余子式是行列式计算中的一个重要概念，它是矩阵元素的乘积，但需要考虑行列的删除和符号的变化。具体来说，代数余子式是 余子式 和符号因子的乘积。

1. 余子式（Minor）：余子式是删除矩阵中的某一行和某一列后得到的子矩阵的行列式。假设有一个 n×n 矩阵 A，其余子式 Mᵢⱼ 对应的是删除 i 行和 j 列后的 (n-1)×(n-1) 矩阵的行列式。

2. 符号因子：符号因子是 (-1)^{i+j}，其中 i 和 j 分别是元素 aᵢⱼ 在矩阵中的行和列的位置。符号因子的作用是为了确保行列式的符号在展开过程中正确地传递。

因此，代数余子式 Cᵢⱼ 是由余子式和符号因子乘积给出的：

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

其中，Mᵢⱼ 是删除 i 行和 j 列后的 (n-1)×(n-1) 子矩阵的行列式。

2.2 代数余子式的计算

代数余子式是通过计算每个元素的余子式，再乘上符号因子得到的。我们以一个 3×3 矩阵为例进行说明。

假设我们有一个 3×3 的矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$$

1. 代数余子式 C₁₁ 对应矩阵 A 中元素 a 的代数余子式：

$$C_{11}=(-1{)}^{1+1}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right)=\text{det}\left(\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right)=ei-fh$$

2. 代数余子式 C₁₂ 对应矩阵 A 中元素 b 的代数余子式：

$$C_{12}=(-1{)}^{1+2}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right)=-\text{det}\left(\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right)=-(di-fg)$$

3. 代数余子式 C₁₃ 对应矩阵 A 中元素 c 的代数余子式：

$$C_{13}=(-1{)}^{1+3}\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right)=\text{det}\left(\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right)=dh-eg$$

通过这样的方法，我们可以计算出矩阵中每个元素的代数余子式。

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3. 行列式的展开公式

3.1 行列式的展开法

根据 代数余子式，行列式的展开式可以写成：

$$\text{det}(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}\cdot \text{det}(A_{ij})$$

其中，aᵢⱼ 是矩阵 A 中的元素，Aᵢⱼ 是删除第 i 行和第 j 列后的子矩阵。这个公式表达了行列式如何通过递归计算子矩阵的行列式来得到整个矩阵的行列式。

3.2 三阶行列式展开

对于一个 3×3 矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$$

我们可以通过展开第一行来计算行列式：

$$\text{det}(A)=a\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right)-b\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right)+c\cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right)$$

这里每个 2×2 的行列式都是通过直接计算的。

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4. 总结

1. 行列式的计算：可以通过代数余子式展开来递归计算，行列式的计算过程中需要删除行和列得到子矩阵并计算其行列式。
2. 代数余子式：代数余子式是余子式与符号因子的乘积，反映了矩阵元素对于整个行列式的贡献。
3. 公式：
   • 二阶行列式：$$\text{det}(A)=ad-bc$$
   • 三阶行列式：$$\text{det}(A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$$
   • 一般 n×n 行列式：$$\text{det}(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}\cdot \text{det}(A_{ij})$$

行列式是线性代数中的重要工具，代数余子式提供了一个递归计算行列式的有效方法。