线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵

最新推荐文章于 2025-06-22 04:23:58 发布

seniusen

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分类专栏：数学之美文章标签：矩阵乘法逆矩阵

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本文深入探讨了矩阵乘法的多种理解方式，包括置换矩阵、增广矩阵的概念及应用，介绍了矩阵逆的定义与求解方法，特别是高斯－若尔当消元法的应用。同时，详细解析了矩阵乘法的性质和逆矩阵的特性。

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1. 矩阵乘法

如果矩阵 $B$ 的列为 $b_1, b_2, b_3$ ，那么 $E B$ 的列就是 $Eb_1, Eb_2, Eb_3$ 。

$EB=E[b1b2b3]=[Eb1Eb2Eb3]\boldsymbol{EB = E[b_1 \quad b_2 \quad b_3] = [Eb_1 \quad Eb_2 \quad Eb_3]}$

$列E\space(B 的第\space j \space列) =EB \space的第 \space j \space列$

置换矩阵（permutation matrix）

在消元的过程中，如果遇到了某一行主元的位置为 0，而其下面一行对应的位置不为 0，我们就可以通过行交换来继续进行消元。

如下的矩阵 $P_{23}$ 可以实现将向量或者矩阵的第 2 、 3 行进行交换。

$P23=[100001010]P_{23} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$

$[100001010][135]=[153]\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \boldsymbol 3\\\boldsymbol 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \boldsymbol 5\\\boldsymbol 3\end{bmatrix}$

$[100001010][241003065]=[241065003]\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&4&1 \\ \boldsymbol0&\boldsymbol0&\boldsymbol3\\0&6&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&1 \\0&6&5 \\\boldsymbol0&\boldsymbol0&\boldsymbol3\end{bmatrix}$

置换矩阵 $P_{ij}$ 就是将单位矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行进行互换，当交换矩阵乘以另一个矩阵时，它的作用就是交换那个矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行。

增广矩阵（augmented matrix）

在消元的过程中，方程两边的系数 $A$ 和 $b$ 都要进行同样的变换，这样，我们可以把 $b$ 作为矩阵 $A$ 的额外的一列，然后，就可以用消元矩阵 $E$ 乘以这个增广的矩阵一次性完成左右两边的变换。

$\space \boldsymbol b] = [EA \space E \boldsymbol b]$

$[100−210001][24−2249−38−2−3710]=[24−220114−2−3710]\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&4&-2&\boldsymbol 2 \\ 4&9&-3&\boldsymbol 8 \\-2&-3&7&\boldsymbol 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&-2&\boldsymbol 2 \\ 0&1&1&\boldsymbol 4 \\-2&-3&7&\boldsymbol 10 \end{bmatrix}$

矩阵乘法的四种理解

如果矩阵 $A$ 有 $n$ 列， $B$ 有 $n$ 行，那么我们可以进行矩阵乘法 $A B$ 。

假设矩阵 $A$ 有 $m$ 行 $n$ 列，矩阵 $B$ 有 $n$ 行 $p$ 列，那么 $A B$ 是 $m$ 行 $p$ 列的。

$\quad \begin{bmatrix} \boldsymbol{m \space 行} \\{n \space 列} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n \space 行 \\\boldsymbol{p \space 列} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{m \space 行} \\\boldsymbol{p \space 列}\end{bmatrix}$

矩阵乘法的第一种理解方式就是一个一个求取矩阵 $A B$ 位于 $(i, j)$ 处的元素

$列的内积=∑aikbkj(AB)_{ij} = A \space 的第 \space i \space 行与\space B \space的第\space j \space 列的内积 = \sum a_{ik}b_{kj}$

第二种理解，矩阵 $A B$ 的列是 $A$ 的列的线性组合

$A[b_1 \quad b_2 \cdots b_p] = [Ab_1 \quad Ab_2 \cdots Ab_p]}$

第三种理解，矩阵 $A B$ 的行是 $B$ 的行的线性组合

$\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\a_m\end{bmatrix}B = \begin{bmatrix}a_1 B \\ a_2B \\ \vdots \\a_m B\end{bmatrix}$

第四种理解，矩阵 $A B$ 是所有 $A$ 的列与 $B$ 的行的乘积的和

$[a_1 \quad a_2 \cdots a_n] \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n\end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$

其中，一列乘以一行称为外积（outer product），(n×1)(1×n)=(n, n)，结果为一个 n×n 的矩阵。
$[273849][1600]=[234][16]+[789][00]=[212318424]\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix}[1 \quad 6] + \begin{bmatrix}7 \\ 8 \\ 9\end{bmatrix}[0 \quad 0] = \begin{bmatrix}2&12 \\ 3&18 \\ 4&24\end{bmatrix}$

矩阵乘法的性质

结合律： $A(BC)=(AB)C\boldsymbol{A(BC) = (AB)C}$
交换律： $(A+B)C=AC+BC\boldsymbol{(A+B)C = AC+BC}$
交换律： $A(B+C)=AB+AC\boldsymbol{A(B+C) = AB+AC}$

$个A^p = \underbrace{AA\cdots A}_{\text{p 个}}$
$A^pA^q = A^{(p+q)}$
$A^p)^q = A^{pq}$
$A^0=I$

分块矩阵

矩阵还可以被划分为小块，其中每个小块都是一个更小的矩阵。

如果对矩阵 $A$ 的列的划分和对矩阵 $B$ 的行的划分正好匹配，那么每个块之间就可以进行矩阵乘法。

一种特殊的划分就是矩阵 $A$ 的每个小块都是 $A$ 的一列，矩阵 $B$ 的每个小块都是 $B$ 的一行，这种情况就是我们上面说的矩阵相乘的第四种理解。

同样地，在消元的时候，我们也可以按块对系数矩阵进行消元。

2. 矩阵的逆

假设 $A$ 是一个方阵，如果存在一个矩阵 $A^{-1}$ ，使得

$A−1A=I并且AA−1=IA^{-1}A = I \quad 并且 \quad AA^{-1} = I$

那么，矩阵 $A$ 就是可逆的， $A^{-1}$ 称为 $A$ 的逆矩阵。

逆矩阵的逆就是进行和原矩阵相反的操作。消元矩阵 $E_{21}$ 的作用是第二个方程减去第一个方程的 2 倍。

$E21=[100−210001]E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

其逆矩阵 $E_{21}^{-1}$ 的作用则是第二个方程加上第一个方程的 2 倍。

$E21−1=[100210001]E_{21}^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

当且仅当在消元过程中产生 $n$ 个主元的时候（允许行交换），矩阵 $A$ 的逆才存在。
矩阵 $A$ 不可能有两个不同的逆矩阵，左逆等于右逆。假设 $B A = I$ ， $A C = I$ ，那么一定有 $B = C$ 。
$\to BI = IC \to B=C$
如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A x = b$ 有唯一解 $x=A^{-1}b$ 。
如果存在一个非零向量 $x$ 使得 $\boldsymbol 0$ ，那么 $A$ 不可逆，因为没有矩阵可以将零向量变成一个非零向量。

$\space A^{-1} \space 存在，则\space x = A^{-1} \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$

一个 2×2 的矩阵是可逆的，当且仅当 $a d - b c$ 非零。

一个对角化矩阵如果其对角线上元素非零，那么其有逆矩阵。

如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是可逆的，那么它们的乘积 $A B$ 也是可逆的。

$AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$AB)^{-1}AB = B^{-1}A^{-1}AB = B^{-1}IB = I$

同样地，针对三个或更多矩阵的乘积，有

$ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

3. 高斯－若尔当消元法（Gauss-Jordan Elimination）求矩阵的逆

我们可以通过消元法来求解矩阵 $A$ 的逆矩阵。思路是这样的，假设 $A$ 是一个 3×3 的矩阵，那么我们可以建立三个方程来分别求出 $A^{-1}$ 的三列。

$AA−1=A[x1x2x3]=[e1e2e3]=[100010001]AA^{-1} = A[x_1 \quad x_2 \quad x_3] = [e_1 \quad e_2 \quad e_3]=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$