线性代数——1.1矩阵及其运算

第一章：矩阵及其运算

教学要求

1. 理解矩阵的概念。
2. 了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和共轭矩阵的定义以及它们的性质。
3. 掌握矩阵的线性运算（加法、数量乘法）、乘法、转置以及它们的运算规律。
4. 了解方阵的幂。
5. 了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。

一、矩阵概念

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表称为 $m\times n$ 矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵。记作 $A=A_{m\times n}=(a_{ij}{)}_{m\times n}=(a_{ij})$。这 $m\times n$ 个数称为矩阵的元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

特殊矩阵：

1. 行矩阵： 只有一行的矩阵，也称行向量。
   例如：$A_{1\times n}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\end{array}\right)$
2. 列矩阵： 只有一列的矩阵，也称列向量。
   例如：$A_{n\times 1}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right)$
3. 方阵： 行数与列数都等于 $n$ 的矩阵 $A$，称为 $n$ 阶方阵，记为 $A_n$。
4. 零矩阵： 元素全为 $0$ 的矩阵称为零矩阵。$m\times n$ 零矩阵记为 $O_{m\times n}$ 或 $0$。不同阶数的零矩阵不相等。
5. 上三角方阵： 主对角线以下元素全为 $0$ 的矩阵。
6. 下三角方阵： 主对角线以上元素全为 $0$ 的矩阵。
7. 对角方阵： 除主对角线上元素外，其余元素全为 $0$ 的矩阵，记为 $diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)=\Lambda$。
8. 数量矩阵： 当对角方阵中主对角线上的元素 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n$ 时，称为数量矩阵。
9. 单位矩阵（方阵）： 主对角线上元素全为 $1$ 的对角阵，记为 $E$ 或 $E_n$。
10. 同型矩阵： 矩阵 $A,B$ 有相同的行数和列数。
11. 矩阵相等： 两个矩阵 $A=(a_{ij})$ 与 B=(bij)B=(b_{ij})