59、流式算法的单边估计研究

流式算法的单边估计研究

1. 引言

在流式算法的研究中，空间复杂度是一个关键指标。我们主要考虑几种不同模型下流式算法的空间复杂度，包括双边 (1 ± ε)-近似、ε-高估、ε-低估、拉斯维加斯算法和确定性算法。下面是相关的复杂度表示：
- (S_{1\pm\varepsilon}(f))：双边估计器的空间复杂度。
- (S_{\varepsilon - under}(f))：ε-低估器的空间复杂度。
- (S_{\varepsilon - over}(f))：ε-高估器的空间复杂度。
- (S_{LV}(f)) 和 (S_{det}(f))：分别是精确计算 (f) 的拉斯维加斯算法和确定性算法的空间复杂度。
- (S_{\varepsilon,LV}(f)) 和 (S_{\varepsilon,det}(f))：分别是返回 (1 ± ε)-近似的拉斯维加斯算法和确定性算法的空间复杂度。

它们之间的关系由以下引理给出：
[S_{1\pm\varepsilon}(f) \leq \min{S_{\varepsilon - under}(f), S_{\varepsilon - over}(f)} \leq \max{S_{\varepsilon - under}(f), S_{\varepsilon - over}(f)} = \Theta(S_{\varepsilon,LV}(f)) \leq S_{\varepsilon,det}(f)]

2. 预备知识

对于许多我们考虑的问题，流是由 (m) 个令牌 ((i_1, v_1), \ldots, (i_m, v_m) \in [n] \times {