58、马尔可夫链收敛诊断与流式算法的单边估计

马尔可夫链收敛诊断与流式算法的单边估计

马尔可夫链收敛时间估计的计算复杂度

在估计马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）收敛时间的问题中，时间 $t$ 以二进制表示，效率衡量与 $t$ 的对数相关。链的混合时间本身对诊断没有限制。相关结论如下：
- 当 $1 ≤ c ≤ exp(nO(1))$ 时：
- 对于 $exp(−nO(1)) < δ ≤ 1/4$，判定 $GTC_{c,δ}$ 问题属于 PSPACE。
- 当 $0 ≤ δ < 1/4$ 时，判定 $GTC_{c,δ}$ 问题是 PSPACE 难的。

统计距离问题

给定电路 $C : {0, 1}^n → {0, 1}^n$，其关联的概率分布 $p$ 对每个 $ω ∈ {0, 1}^n$ 赋予概率 $p(ω) = |C^{−1}(ω)|/2^n$。对于一对电路 $C, C′ : {0, 1}^n → {0, 1}^n$ 关联的分布 $p$ 和 $p′$，定义 $SD_{c,s}$ 问题：
- 输入为电路对 $C, C′$。
- 肯定实例满足 $dtv(p, p′) ≥ c$。
- 否定实例满足 $dtv(p, p′) < s$。

研究表明，对于任意常数对 $0 ≤ s < c ≤ 1$，$SD_{c,s}$ 问题属于 $AM ∩ coAM$。下面介绍相关协议：

AM 协议

以下是 $SD_{c,s}$ 的交互式协议 $P$：
1. 验证者（V）：抛一枚公平硬币。若正面，从 $C$ 生成随机样本；若反面，从 $C′$ 生成随机样本。将样本 $x$ 发送给证明者（P）。 <