60、流式算法与通信复杂度中的权衡问题研究

流式算法与通信复杂度中的权衡问题研究

在数据处理和通信领域，流式算法和通信复杂度问题一直是研究的热点。本文将探讨流式算法中的单边估计问题以及经典通信问题 INDEX 及其变体 AUGMENTED - INDEX 的信息成本权衡问题。

流式算法的单边估计

在流式算法中，我们关注几个重要的问题，包括最小包围球（Minimum Enclosing Ball，MEB）、分类问题、最长递增子序列（Longest - Increasing - Subsequence）以及一些流式统计问题。

最小包围球与分类问题

对于最小包围球问题，存在一个 ε - 高估器，它使用 $O(d \log(nd) + polylog(nd / \varepsilon) / \varepsilon^2)$ 空间和 $O(polylog(nd / \varepsilon) / \varepsilon)$ 遍处理。其基本思路是找到一组索引 $i_1, \ldots, i_{1 / \varepsilon}$，使得以这些索引为中心的球在至少 1/2 的概率下，其半径接近最小可能值。具体步骤如下：
1. 找到索引 $i_1, \ldots, i_{1 / \varepsilon}$，满足特定概率条件。
2. 计算点 $y := \frac{1}{\varepsilon} \sum_{j = 1}^{1 / \varepsilon} \varepsilon A_{i_j}$，这可以通过多一次遍历和 $O(d \log M)$ 额外的空间完成。
3. 计算以 $y$ 为中心的球的半径 $r := \max_{1 \leq i \leq n} ||A_i - y||$，这需要