48、随机正则图上随机游走的病毒传播过程

随机正则图上随机游走的病毒传播过程

1. 系统动态与基本概念

在随机正则图上的随机游走系统中，随机游走具有混合时间 $T = O(k \ln n)$。当时间 $t \geq T$ 时，粒子的分布近似于平稳分布。由于图是正则的，平稳分布在图的顶点上是均匀的。

考虑粒子对集合 $A$，对于粒子对 $(x, y) \in A$，定义事件 $B(x,y)(t)$ 为：在时间段 $[T, t - 1]$ 内 $A$ 中没有粒子对相遇，且 $x$ 和 $y$ 在时间 $t$ 相遇。在一定限制条件下，有：
[Pr\left(B(x,y)(t)\right) \sim p (1 - |A|p)^{t - 1}]
其中
[p = \frac{1}{\theta r n}\left(1 + O\left(\frac{k \ln n}{n}\right)\right)]

在混合时间内，一般难以精确描述粒子的行为。但如果粒子初始处于一般位置，那么在高概率下，它们在混合时间内不会相遇。我们称对顶点 $v$ 的访问或粒子对的相遇是 $T$ - 不同的，如果它发生在之前的 $T$ - 不同访问/相遇或游走开始至少 $T$ 步之后。

2. 双粒子系统

当 $k = 2$ 时，设 $s$ 为初始感染粒子，$x$ 为另一个粒子。允许 $\xi < \infty$ 和/或 $\rho < 1$，前者意味着 $x$ 可能永远不会被感染，后者意味着 $s$ 和 $x$ 可能需要多次相遇才会发生相互作用。

根据前面的公式，$s$ 和 $x$ 在 $T$ 之后的首次相遇发生在第 $t$ 步的概率为：
[Pr(\