6、稀疏恢复与带容量集覆盖问题解析

稀疏恢复与带容量集覆盖问题解析

1. 稀疏恢复问题

在稀疏恢复领域，涉及到多个关键问题和相关定理，下面将详细介绍。
- SRPSK2 问题的下界 ：对于 SRPSK2 问题，当满足 (s = O(\epsilon n / \log(n / \epsilon))) 且 (\epsilon \leq 1/61) 时，所需的测量次数至少为 (\Omega ((k / \epsilon) \log(s / k)))。其推导过程如下：
- 首先，要选择足够大的 (b)，使得 (2b \geq 15n^2 / \epsilon)，即 (b = O(\log(n / \epsilon))) 即可。这里 (b) 是 (A’) 每个分量的比特数，而 (x - z) 的每个分量最多需要 (\alpha \log D = O(\epsilon \alpha)) 比特。
- 那么 Alice 发送给 Bob 的消息 (A’(x - z)) 最多包含 (O(m(b + \epsilon \alpha)) = O(m(\log(n / \epsilon) + \epsilon \alpha))) 比特，通过这些比特他们可以解决 (d = \Theta(\alpha k \log(n / (\alpha k)))) 的 AIP 问题。
- 根据相关引理可得 (m = \Omega \left(\frac{\alpha k \log(n / (\alpha k))}{\log(n / \epsilon) + \epsilon \alpha}\right))。
- 当 (\epsilon \alpha = \Omega(\log(n / \epsilon)))，或等