17、最优轨迹计算、控制理论及生物建模中的不变性研究

最优轨迹计算、控制理论及生物建模中的不变性研究

在科学研究和工程实践中，涉及到诸多复杂的问题，如最优轨迹的计算、控制理论的应用以及生物系统建模中的不变性研究等。这些问题相互关联，且在不同领域都具有重要的意义。

含奇异弧的最优轨迹计算问题

计算含奇异弧的最优轨迹是计算数学中的一项极具挑战性的任务。这是因为奇异弧存在过度确定的情况，在奇异弧的起始点(t = τ)，除了运动方程和关联系统外，还需满足(H_1 = 0)和(\dot{H}_1 = 0)这两个关系，这对相向量(\vec{x}(0))和关联向量(\vec{\psi}(0))的初始值施加了限制((\vec{x}(0), \vec{\psi}(0)) \in Φ_0)，而在求解问题之前，这个集合(Φ_0)是未知的。

在搜索过程中，很难访问到这个集合，并且让(\vec{\psi}(0))在不偏离(Φ_0)的情况下变化几乎是不可能的。即使在搜索过程中某个样本满足((\vec{x}(0), \vec{\psi}(0)) \in Φ_0)条件，后续(\vec{\psi}(0))值的变化导致偏离流形(Φ_0)时，轨迹的性质也会发生显著改变。

为了解决这个问题，研究人员开发了一种从特殊控制面进行积分来计算含奇异弧最优轨迹的方法，并与Zlatsky一起将其发展为从特定流形进行积分的方法。该方法的核心是从在未知流形(Φ_0)上搜索向量(\vec{\psi}(0))转变为在特定条件下搜索。具体步骤如下：
1. 在满足奇异段所有必要最优条件的一组点上，指定一个中间点(X_ψ (\vec{x}^ , \vec{\psi}^ ))，从该点开始以时间逆流的方式对最优运动方程组进行积分。
2. 进