16、最优控制系统理论中的不变关系

最优控制系统理论中的不变关系

在现代科学技术领域，最优控制理论对于解决复杂系统的控制问题起着至关重要的作用。本文将深入探讨最优控制系统理论中的价格 - 目标不变性问题，以及奇异控制在火箭飞行力学中的应用。

1. 引言

变分问题的表述包含了受控对象的运动方程信息。若特定机动目标可实现，最优控制函数通常依赖于给定的边界条件和横截条件。然而，存在几类变分问题，其最优性必要条件中包含的控制函数间的关系，对问题陈述中指定条件的变化具有不变性。这种不变性似乎违背了因果关系的普遍原则，引发了对其成因及受控对象特性的分析需求。在一些实际有趣的 Mayer 问题中，所得到的关系不依赖于特定的目的论信息，仅需对象的运动方程即可写出，这表明它们反映了对象自身的某种特殊属性。

2. 最优控制理论中的价格 - 目标不变性问题

考虑三类变分问题，可得到正则和奇异最优轨迹的价格 - 目标不变量。这对于简化控制系统结构具有重要意义。

对于一个由微分方程组描述的对象：
[
\frac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, \cdots, x_n, u_1, \cdots, u_r), \quad i = 1, n ; \quad u(t) \in U
]
其中 (U) 是可允许控制的集合。为该系统制定 Mayer 变分问题，即从初始位置 (x(t_0) = x_0) 过渡到最终状态 (x(t_f))，并使泛函值最小：
[
J[u(t)] = \Phi(x(t_f))
]

若变分问题有解，则满足最优性必要条件。这里选择 Pontryagin 最大值原理进行最优控制分析。根据该原理