堆的定义
堆(heap),是一棵有着特殊性质的完全二叉树,对于树中的每一个节点,如果存在子树,那么该结点的权值大于等于(或小于等于)子树中所有节点的权值。如果根节点的权值大于等于子树的权值,称为大根堆;反之,称为小根堆。
堆的核心操作
1、向上调整算法
向上调整算法用于向堆中插入元素。就是当堆中新来一个元素,放在末尾时,从这个节点开始,逐渐向上调整。算法流程:1、将该点与父节点的权值作比较,如果父节点的权值大,就与父亲交换 2、重复操作1,直到小于等于父节点的权值,或者换到根节点的位置为止。
代码实现:
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int heap[N];
// 向上调整算法
void up(int child)
{
int parent = child / 2;
while((heap[child] > heap[parent]) && (parent >= 1))
{
swap(heap[child], heap[parent]);
child = parent;
parent = child / 2;
}
}
2、向下调整算法
向下调整算法用于删除堆顶元素,或者堆排序中的建堆操作。就是从这个节点开始,逐渐向下调整。算法流程:1、找出左右孩子中权值最大的那一个,如果该点的权值比最大孩子的权值小,就交换。2、重复操作1,直到该点比两个孩子结点的权值都大,或者换到叶子结点为止。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int heap[N];
// 向下调整算法
void down(int parent)
{
int child = parent * 2;
while(child <= n)
{
if((heap[child] < heap[child + 1]) && (child + 1 <= n))
{
child++;
}
swap(heap[parent], heap[child]);
parent = child;
child = parent * 2;
}
}
堆的模拟实现
掌握好向上调整算法和向下调整算法之后,堆的实现就变得很简单了。
1、插入元素
把新元素放在最后一个位置,然后从最后一个位置开始执行一次向上调整算法。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int heap[N];
// 向上调整算法
void up(int child)
{
int parent = child / 2;
while((heap[child] > heap[parent]) && (parent >= 1))
{
swap(heap[child], heap[parent]);
child = parent;
parent = child / 2;
}
}
// 插入元素
void push(int x)
{
heap[++n] = x;
up(n);
}
2、删除堆顶元素
1、将堆顶元素和最后一个元素交换,然后n--删除最后一个元素;
2、从根节点开始执行一次向下调整算法。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int heap[N];
// 向下调整算法
void down(int parent)
{
int child = parent * 2;
while(child <= n)
{
if((heap[child] < heap[child + 1]) && (child + 1 <= n))
{
child++;
}
swap(heap[parent], heap[child]);
parent = child;
child = parent * 2;
}
}
void pop()
{
swap(heap[1], heap[n]);
n--;
down(1);
}
3、查询堆顶元素
下标为1的位置的元素就是堆顶元素。
int top()
{
return heap[1];
}
4、堆的大小
int size()
{
return n;
}
小结
那么以上就是堆的全部内容了,同样,C++的STL也提供了一个堆结构供我们使用,下一章我们再来重点介绍。