【HEOI2015】bzoj4031 小z的房间

最新推荐文章于 2021-08-26 09:22:24 发布

sdfzyhx

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分类专栏：图论数学 bzoj 省选真题文章标签：矩阵树定理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sdfzyhx/article/details/60952632

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本文探讨了一个基于矩阵树定理的算法问题，旨在计算在一个由房间和柱子组成的网格中，如何打通墙壁使得所有房间连通且仅有唯一路径的方法数量。通过构建邻接矩阵并使用特定算法进行行列式计算，最终得出方案总数。

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。
Input

第一行两个数分别表示n和m。接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’’，其中’.’代表房间，’’代表柱子。 Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

矩阵树定理。
因为不能求逆元，消元的时候需要两行辗转相除。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=1000000000;
#define LL long long
LL m[110][110];
char mp[15][15];
int nn,mm,xx[]={1,-1,0,0},yy[]={0,0,1,-1},id[15][15],n;
bool ok(int x,int y)
{
    return x>=1&&x<=nn&&y>=1&&y<=mm&&mp[x][y]=='.';
}
int main()
{
    int x1,y1,flag=1,p;
    LL x,ans;
    scanf("%d%d",&nn,&mm);
    for (int i=1;i<=nn;i++)
    {
        scanf("%s",mp[i]+1);
        for (int j=1;j<=mm;j++)
            if (mp[i][j]=='.') id[i][j]=n++;
    }
    for (int i=1;i<=nn;i++)
        for (int j=1;j<=mm;j++)
            if (mp[i][j]=='.')
                for (int k=0;k<4;k++)
                    if (ok(x1=i+xx[k],y1=j+yy[k]))
                    {
                        m[id[i][j]][id[x1][y1]]=(m[id[i][j]][id[x1][y1]]-1+mod)%mod;
                        m[id[i][j]][id[i][j]]++;
                    }
    n--;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        p=-1;
        for (int j=i;j<n;j++)
            if (m[j][i])
            {
                p=j;
                break;
            }
        if (p==-1) continue;
        if (p!=i)
        {
            flag*=-1;
            for (int j=0;j<n;j++) swap(m[i][j],m[p][j]);
        }
        for (int j=i+1;j<n;j++)
            while (m[j][i])
            {
                x=m[j][i]/m[i][i];
                for (int k=i;k<n;k++)
                    m[j][k]=(m[j][k]-m[i][k]*x%mod+mod)%mod;
                if (!m[j][i]) break;
                flag*=-1;
                for (int k=i;k<n;k++) swap(m[i][k],m[j][k]);
            }
    }
    ans=1;
    for (int i=0;i<n;i++) ans=ans*m[i][i]%mod;
    ans=(ans*flag+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
}#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=1000000000;
#define LL long long
LL m[110][110];
char mp[15][15];
int nn,mm,xx[]={1,-1,0,0},yy[]={0,0,1,-1},id[15][15],n;
bool ok(int x,int y)
{
    return x>=1&&x<=nn&&y>=1&&y<=mm&&mp[x][y]=='.';
}
int main()
{
    int x1,y1,flag=1,p;
    LL x,ans;
    scanf("%d%d",&nn,&mm);
    for (int i=1;i<=nn;i++)
    {
        scanf("%s",mp[i]+1);
        for (int j=1;j<=mm;j++)
            if (mp[i][j]=='.') id[i][j]=n++;
    }
    for (int i=1;i<=nn;i++)
        for (int j=1;j<=mm;j++)
            if (mp[i][j]=='.')
                for (int k=0;k<4;k++)
                    if (ok(x1=i+xx[k],y1=j+yy[k]))
                    {
                        m[id[i][j]][id[x1][y1]]=(m[id[i][j]][id[x1][y1]]-1+mod)%mod;
                        m[id[i][j]][id[i][j]]++;
                    }
    n--;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        p=-1;
        for (int j=i;j<n;j++)
            if (m[j][i])
            {
                p=j;
                break;
            }
        if (p==-1) continue;
        if (p!=i)
        {
            flag*=-1;
            for (int j=0;j<n;j++) swap(m[i][j],m[p][j]);
        }
        for (int j=i+1;j<n;j++)
            while (m[j][i])
            {
                x=m[j][i]/m[i][i];
                for (int k=i;k<n;k++)
                    m[j][k]=(m[j][k]-m[i][k]*x%mod+mod)%mod;
                if (!m[j][i]) break;
                flag*=-1;
                for (int k=i;k<n;k++) swap(m[i][k],m[j][k]);
            }
    }
    ans=1;
    for (int i=0;i<n;i++) ans=ans*m[i][i]%mod;
    ans=(ans*flag+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
}