poj2888 Magic Bracelet

最新推荐文章于 2019-10-14 07:35:35 发布

sdfzyhx

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分类专栏：数学 poj 文章标签： burnside引理矩阵快速幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sdfzyhx/article/details/69950937

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本文介绍了一种高效计算不动点数量的方法，适用于特定类型的旋转项链问题。通过枚举因数和利用邻接矩阵求幂来计算不同旋转周期下的不动点数目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

因为 $n$ 很大，不能直接枚举旋转的次数 $i$ 。因为只关心 $\gcd(i,n)$ ，可以枚举 $n$ 的因数 $d$ ，不难发现有 $\varphi(n/d)$ 个 $i$ 满足要求。
接下来考虑对于某个循环个数 $d=\gcd(i,n)$ 如何求出不动点个数。项链可以看成是 $n/d$ 个长度为 $d$ 的小圈拼成的，之所以是圈是因为每一部分顺次相接相当于一个部分首尾相接。不妨把两种珠子相邻摆放看成一条边，对 $m$ 的邻接矩阵求幂就得到了一个小圈的方案数，也就是这个循环个数下的不动点数【因为每个不动点都是由 $n/d$ 个相同的小圈拼成的】。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int p=9973,maxx=100000;
int n,m,k,tot,have[maxx+10],prm[maxx+10];
struct mat
{
    int a[12][12];
    mat operator * (const mat &mm) const
    {
        mat ret;
        for (int i=1;i<=m;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++)
            {
                ret.a[i][j]=0;
                for (int k=1;k<=m;k++)
                    ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a[i][k]*mm.a[k][j])%p;
            }
        return ret;
    }
    mat pow(int x)
    {
        mat base,ret;
        for (int i=1;i<=m;i++)
            for (int j=1;j<=m;j++)
            {
                base.a[i][j]=a[i][j];
                ret.a[i][j]=(i==j);
            }
        for (;x;x>>=1,base=base*base)
            if (x&1) ret=ret*base;
        return ret;
    }
    int count()
    {
        int ret=0;
        for (int i=1;i<=m;i++)
            ret+=a[i][i];
        return ret%p;
    }
}f,g;
int pow(int base,int x)
{
    int ret=1;
    for (;x;x>>=1,base=base*base%p)
        if (x&1) ret=ret*base%p;
    return ret;
}
int phi(int x)
{
    int ret=x;
    for (int i=1;prm[i]*prm[i]<=x;i++)
        if (x%prm[i]==0)
        {
            ret=ret/prm[i]*(prm[i]-1);
            while (x%prm[i]==0) x/=prm[i];
        }
    if (x>1) ret=ret/x*(x-1);
    return ret%p;
}
void solve()
{
    int x,y,ans=0;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            f.a[i][j]=1;
    while (k--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        f.a[x][y]=f.a[y][x]=0;
    }
    for (int i=1;i*i<=n;i++)
        if (n%i==0)
        {
            g=f.pow(i);
            ans=(ans+phi(n/i)*g.count())%p;
            if (i*i<n)
            {
                g=f.pow(n/i);
                ans=(ans+phi(i)*g.count())%p;
            }
        }
    printf("%d\n",ans*pow(n%p,p-2)%p);
}
int main()
{
    int T;
    for (int i=2;i<=maxx;i++)
    {
        if (!have[i]) prm[++tot]=i;
        for (int j=1;j<=tot&&(LL)i*prm[j]<=maxx;j++)
        {
            have[i*prm[j]]=1;
            if (i%prm[j]==0) break;
        }
    }
    scanf("%d",&T);
    while (T--) solve();
}