bzoj4031 （矩阵树定理，行列式基础）

最新推荐文章于 2021-07-03 18:26:28 发布

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本文介绍了一种使用行列式计算解决图论中特定问题的方法。通过C++实现了一个高效的算法来处理网格上的自由点连接问题，并展示了如何通过高斯消元法求解大型稀疏矩阵的行列式。

行列式再回顾！手机上图片

/**************************************************************
    Problem: 4031
    User: zhhx
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:20 ms
    Memory:1048 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100005;
const ll mod=1e9;
 
int n,m;
 
int cnt;
int a[120][120],b[120][120];ll c[120][120];int id[12][12];
char ch[12][12];
 
ll gauss()
{
    int mark=0;
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        int j=i;
        for (;j<=cnt;j++) if (c[j][i]) break;
        if (j==cnt+1) return 0;
        if (j!=i)
        {
            swap(c[i],c[j]);
            mark^=1;
        }
        for (int j=i+1;j<=cnt;j++)
        {
            while (c[j][i])
            {
                ll tmp=c[j][i]/c[i][i];
                for (int l=i;l<=cnt;l++) c[j][l]=((c[j][l]-c[i][l]*tmp%mod)%mod+mod)%mod;
                if (c[j][i]==0) break; 
                swap(c[i],c[j]);
                mark^=1;
            }
        }
    }
    ll ans=1;
    for (int i=1;i<=cnt;i++) ans=ans*c[i][i]%mod;
    if (mark) ans=(mod-ans)%mod;
    return ans;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",ch[i]+1);
     
    int u,v;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++) 
        if (ch[i][j]=='.') 
        {
            u=id[i][j]=++cnt;
            if (v=id[i][j-1]) 
            {
                a[v][v]++,a[u][u]++;
                b[u][v]++,b[v][u]++;
            }
            if (v=id[i-1][j]) 
            {
                a[v][v]++,a[u][u]++;
                b[u][v]++,b[v][u]++;
            }
        }
     
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
        for (int j=1;j<=cnt;j++) c[i][j]=((a[i][j]-b[i][j])%mod+mod)%mod;
    cnt--;
    printf("%lld",gauss()); 
    return 0;
}