向量点乘与叉乘

本文介绍了向量点乘与叉乘的概念。点乘与角度θ相关,但注意角度有正负,表示从A到B的方向。叉乘不满足交换律,且在物理学中用于计算力矩。向量的叉乘结果c垂直于a和b所在平面,方向通过右手法则判断。叉乘的绝对值等于由A和B定义的平行四边形面积,常用于计算三角形面积。

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向量(Vector
在几乎所有的几何问题中,向量(有时也称矢量)是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数(长度)。在二维空间中,一个向量可以用一对xy来表示。例如由点(1,3)到(5,1的向量可以用(4,-2)来表示。这里大家要特别注意,我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。

向量加法
向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加,得到的仍然是一个向量。我们有:
    V1
x1, y1+V2x2, y2=V3(x1+x2, y1+y2)
下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响(满足交换律),减法也是一样的。

 

点乘(Dot Product
如果说加法是凭直觉就可以知道的,另外还有一些运算就不是那么明显的,比如点乘和叉乘。
点乘比较简单,是相应元素的乘积的和:
    V1( x1, y1)   V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
注意结果不是一个向量,而是一个标量(Scalar)。点乘有什么用呢,我们有:
    A   B = |A||B|Cos(θ)
θ
是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm),也就是A的长度, 在二维空间中就是
### Matlab 中向量的区别 #### (Dot Product) 的结果是一个标量值,表示两个向量之间的夹角余弦值大小。对于两个向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\),它们的定义如下: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \] 其中 \(|\mathbf{a}|\) 表示向量 \(\mathbf{a}\) 的模长,\(θ\) 是这两个向量间的夹角[^1]。 在 MATLAB 中实现操作非常简单。假设存在两个列向量 `A` 和 `B`: ```matlab C_dot = dot(A, B); ``` 此命令会返回一个数值结果代表 A 和 B 之间后的标量值[^3]。 #### (Cross Product) 不同于得到的是一个数,产生的新向量垂直于原来的两个输入向量所形成的平面,并且该矢量的方向遵循右手定则。其长度等于原两向量组成平行四边形区域的面积,具体表达式为: \[ |\mathbf{c}| = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\phi} \] 这里 \(\phi\) 表示由 a 到 b 方向上转过的最小角度。 同样,在 MATLAB 下执行可以使用内置函数 `cross()` 来完成。给定同样的向量 `A` 和 `B` : ```matlab C_cross = cross(A, B); ``` 这将生成一个新的三维向量作为输出,它既正交又指向特定方向[^2]。 通过上述对比可以看出,关注的是两个向量间的角度关系并给出相应强度;而更侧重描述空间位置变化以及由此带来的定向影响。
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