6、中国连环与格罗斯序列的奇妙世界

中国连环与格罗斯序列的奇妙世界

1. 中国连环的数学基础

中国连环（CR）有着丰富的数学内涵。首先，对于图 (G)，其 (W(G)) 定义为图中任意两个顶点之间距离的总和，即 (W(G) = \sum_{ {s,t} \in (V(G)^2)} d(s,t)) ，图 (G) 的平均距离 (d(G)) 则为 (d(G) = \frac{2W(G)}{\vert V(G)\vert^2}) 。通过已知路径图的维纳指数，我们可以得到中国连环图 (R_n) 的平均距离 (d(R_n) = \frac{1}{3}(2^n - 2 - n)) ，大约是直径的 (1/3) 。

接下来，我们考虑随机解决中国连环的情况。如果玩家在状态 (\alpha(n)) 和 (\omega(n)) 之外，以 (1/2) 的等概率随机选择移动类型 0 或 1 ，基于马尔可夫链方法，H. L. Wiesenberger 发现从状态 (s) 到状态 (t) 的随机移动的期望移动次数 (d_e(s,t)) 为：
[
d_e(s,t) =
\begin{cases}
d(t)^2 - d(s), & \text{如果 } d(t) > d(s) \
0, & \text{如果 } d(t) = d(s) \
(2^n - 1 - d(t))^2 - (2^n - 1 - d(s)), & \text{如果 } d(t) < d(s)
\end{cases}
]
特别地，对于 (n \in N) ，(d_e(0^n,1^n) = \beta^2_n) ，而 (d_e(1^n,0^n) = (2^n