6、中国环谜题与格罗斯序列的奥秘

中国环谜题与格罗斯序列的奥秘

中国环的数学基础

中国环是一个充满数学奥秘的谜题。首先，我们来了解一些关于图的基本数学概念。对于图 (G)，定义 (W(G) = \sum_{ {s,t} \in (V(G)^2)} d(s,t))，这里 (d(s,t)) 表示图 (G) 中任意两个顶点 (s) 和 (t) 之间的距离。图 (G) 的平均距离 (d(G)) 则为 (d(G) = \frac{2W(G)}{\vert V(G)\vert^2})。

已知路径图的维纳指数，我们可以得到中国环图 (R_n) 的平均距离 (d(R_n) = \frac{1}{3}(2^n - 2 - n))，大约是直径的 (\frac{1}{3})。

现在，我们来思考一个有趣的问题：如果玩家随机移动环，是否有可能偶然解开中国环谜题呢？假设玩家以相等的概率（(\frac{1}{2})）选择移动类型 0 或 1（除了在状态 (\alpha(n)) 和 (\omega(n)) 时）。基于马尔可夫链的方法，H. L. Wiesenberger 发现，在 (R_n) 中从状态 (s) 随机移动到状态 (t) 的期望移动次数 (d_e(s,t)) 如下：
[
d_e(s,t) =
\begin{cases}
d(t)^2 - d(s), & \text{如果 } d(t) > d(s) \
0, & \text{如果 } d(t) = d(s) \
(2^n - 1 - d(t))^2 - (2^n - 1 - d(s)), & \text{如果 } d(t) < d(s)
\end{cases}