Hackerrank 101 Hack 42 Array Pairs

最新推荐文章于 2020-05-23 17:00:24 发布

samjia2000

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分类专栏：解题报告数据结构 hackerrank

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/samjia2000/article/details/52997874

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本文介绍了一种使用笛卡尔树解决特定数组配对问题的方法，通过构造笛卡尔树并采用有效的枚举策略，实现了O(nlog²n)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目来源：https://www.hackerrank.com/contests/101hack42/challenges/array-pairs

题目大意

给出长度为n的序列a，求有多少点对(i,j)满足 $1\le i<j\le n且a_i\times a_j \le max(a_i,a_{i+1},...,a_j)$
$1\le n \le 5\times 10^5,1\le a_i\le 10^9$

Solution

假如我们已经知道了 $max(a_i,a_{i+1},...,a_j)$ 是v，那么对于一个i我们就可以知道 $a_j$ 的取值范围应该为 $[1,\frac{a_i}{v}]$
于是我们可以建出笛卡尔树，对于笛卡尔树上的一个点，我们有两种方法来求出 $max(a_i,a_{i+1},...,a_j)$ 是v的合法的(i,j)的个数，一是枚举i，利用数据结构统计j的个数，二是枚举j，统计i的个数，显然如果我们非要从这两种里面选一种的话，我们会选择枚举次数少的。
那么这样做为什么不会使得询问的次数特别多呢？显然，一个最坏的情况下，我们建出的笛卡尔树应该是颗满二叉树，而当前情况下共有 $log_2n$ 层，每层n个，由于要用到数据结构，所以这样做是 $O(n log_2^2n)$ 的。
这题的难点主要在于要想到用笛卡尔树，还要想到挑选个数小的那边进行枚举。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>

using namespace std;

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)

const int N = 5e5+10;

typedef long long LL;

int tree[N];
struct sj{
    int ty,l,r,x;
    friend bool operator <(sj a,sj b){
        if (a.x!=b.x)return a.x<b.x;
        return a.ty<b.ty;
    }
}q[N*20];
int sta[N],k,m;
int n;
LL ans;
int L[N],R[N],a[N],fa[N],rt,s[N],f[N];

void add(int ty,int l,int r,int x){
    q[++m].ty=ty;q[m].l=l;q[m].r=r;q[m].x=x;
}

void bfs(){
    int he=0,ta=1;
    f[1]=rt;
    while(he<ta){
        int x=f[++he];
        if (L[x])f[++ta]=L[x];
        if (R[x])f[++ta]=R[x];
    }
    fd(d,n,1){
        int x=f[d];
        s[x]=s[L[x]]+s[R[x]]+1;
        if(L[x]&&R[x]){
            if (s[L[x]]<s[R[x]]){
                fo(i,x-s[L[x]],x-1)
                add(1,x,x+s[R[x]],a[x]/a[i]);
                add(1,x+1,x+s[R[x]],1);
            }
            else{
                fo(i,x+1,x+s[R[x]])
                add(1,x-s[L[x]],x,a[x]/a[i]);
                add(1,x-s[L[x]],x-1,1);
            }
        }
        else
            if (L[x]+R[x]){
                if (L[x])add(1,x-s[L[x]],x-1,1);
                else add(1,x+1,x+s[R[x]],1);
            }
    }
}

int getans(int x){
    int ans=0;
    while(x){
        ans+=tree[x];
        x-=x&-x;
    }
    return ans;
}

void change(int x){
    while(x<=n){
        tree[x]++;
        x+=x&-x;
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
    sta[k=1]=1;
    fo(i,2,n){
        if (a[i]<=a[sta[k]]){
            fa[i]=sta[k];
            sta[++k]=i;
            continue;
        }
        while(k&&a[sta[k]]<a[i])k--;
        fa[sta[k+1]]=i;
        fa[i]=sta[k];
        sta[++k]=i;
    }
    fo(i,1,n)
    if (!fa[i])rt=i;
    else{
        if (i<fa[i])L[fa[i]]=i;
        else R[fa[i]]=i;
    }
    bfs();
    fo(i,1,n)add(0,i,0,a[i]);
    sort(q+1,q+1+m);
    fo(i,1,m)
    if (q[i].ty)ans=ans+getans(q[i].r)-getans(q[i].l-1);
    else change(q[i].l);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}