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最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布

sadnohappy

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分类专栏：题解莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sadnohappy/article/details/89684009

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莫比乌斯反演

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本文深入探讨了数学算法中涉及的函数f(n), g(n)及F(S)的计算方法，通过构造辅助函数h(n)简化计算过程，实现了对任意序列a1至an的快速求解。代码实现使用C++，并考虑了数据的模运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定 $n$ 个元素 $a_{1∼n}$ ，对于 $\in[1,n]$ 求 $F(a_{1∼i})$ 。
其中：
$f(n)=∑i=1n∑j=1nμ(ij)f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(ij)$
$g(n)=∑i=1ni∑j=1n[gcd(i,j)=1]jg(n)=\sum_{i=1}^n i\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=1]j$
$F(S)=∑T∈Sf(gcd(a∈T))∏a∈Tg(a)F(S)=\sum_{T\in S}f(gcd(a\in T))\prod_{a\in T}g(a)$
答案对998244353取模，强制在线，真实的 $a_i$ 两两不同。

Solution

~~以下n非题目中的n~~
$g(n)=2(∑i=2ni∑j=1i[gcd(i,j)=1]j)+1=∑i=1ni2φ(i)g(n)=2(\sum_{i=2}^ni\sum_{j=1}^i[gcd(i,j)=1]j)+1=\sum_{i=1}^ni^2φ(i)$
$f(n)=∑i=1nμ(i)∑j=1⌊ni⌋∑k=1⌊ni⌋μ(ij)μ(ik)=∑i=1nμ(i)(∑j=1⌊ni⌋μ(jk))2f(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(ij)\mu(ik)=\sum_{i=1}^n\mu(i)(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(jk))^2$
注意到我们要对 $f (1 \sim m)$ 都求答案，但 $n$ 每增加 $1$ 改动只有约数个数位，所以增量求即可。
构造函数 $h (n)$ 使得 $f(n)=∑d∣nh(d)f(n)=\sum_{d|n}h(d)$ ，即 $h(n)=f(n)−∑d∣n&d<nh(d)h(n)=f(n)-\sum_{d|n\&d<n}h(d)$ 。
那么 $F(S)=∑T∈S(∑d∣gcd(a∈T)h(d))∏a∈Tg(a)F(S)=\sum_{T\in S}(\sum_{d|gcd(a\in T)}h(d))\prod_{a\in T}g(a)$
交换主体： $F(S)=∑d=1mh(d)(∏d∣a(g(a)+1)−1)F(S)=\sum_{d=1}^m h(d)(\prod_{d|a}(g(a)+1)-1)$
注意到 $F (S)$ 增加一位也只会改变约数个数的值，且 $a_i$ 两两不同，直接算即可。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define fo(i,j,k) for(int i=j,o=k;i<=o;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=4e5+10,mo=998244353;
int mu[N],pr[N],phi[N];
vector<int> b[N];
int read(){
    char ch=' ';int t=0;
    for(;ch<'0' || ch>'9';ch=getchar());
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar()) t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48;
	return t;
}
int pl(int x,int y){
	return x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}
void inc(int &x,int y){
	x=x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}
void pre(int n){
	mu[1]=phi[1]=1;
	fo(i,2,n){
		if(!phi[i]) phi[i]=i-1,mu[i]=-1,pr[++pr[0]]=i;
		fo(j,1,pr[0]){
			int t=i*pr[j];
			if(t>n) break;
			if(i%pr[j]==0) {phi[t]=phi[i]*pr[j],mu[t]=0;break;}
			mu[t]=-mu[i],phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);
		}
	}
}
int f[N],g[N],s[N],h[N],w[N];
int main()
{
	freopen("lalaland.in","r",stdin);
	freopen("lalaland.out","w",stdout);
	int n=read(),m=read(),tp=read();
	pre(m);
	fo(i,1,m) g[i]=pl(g[i-1],(ll)i*i%mo*phi[i]%mo);
	fo(i,1,m)
	fo(j,1,m/i) b[i*j].push_back(i);
	fo(i,1,m){
		f[i]=f[i-1];
		for(int d:b[i]){
			int t=mu[i]*(2*s[d]+mu[i]);
			f[i]+=mu[d]*t%mo;
			s[d]+=mu[i];
		}
	}
	fo(i,1,m){
		h[i]=f[i];
		for(int d:b[i]) if(d<i) h[i]-=h[d];
	}
	fo(i,1,m) h[i]=(h[i]+mo)%mo,w[i]=1;
	int ans=0;
	fo(i,1,n){
		int x=read();
		if(tp==1) x=(19891989ll*ans+x)%m+1;
		for(int d:b[x]){
			inc(ans,mo-(ll)h[d]*(w[d]-1)%mo);
			w[d]=(ll)w[d]*pl(g[x],1)%mo;
			inc(ans,(ll)h[d]*(w[d]-1)%mo);
		}
		if(tp) printf("%d\n",ans);
	}
	if(!tp) printf("%d\n",ans);
}