【GDOI2019Day1模拟2019.4.28】爱乐之城

最新推荐文章于 2019-09-24 19:36:00 发布

Cold_Chair

最新推荐文章于 2019-09-24 19:36:00 发布

阅读量416

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数论杂集莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Cold_Chair/article/details/89645005

数论杂集同时被 2 个专栏收录

49 篇文章

订阅专栏

莫比乌斯反演

16 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了数论组合题目，包括求解特定数学表达式的技巧，如利用莫比乌斯反演和调和级数优化算法。通过具体示例，讲解了如何处理涉及最大公约数、最小公倍数及多项式乘法的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description：

在这里插入图片描述

题解：

数论组合题，成功区分数论忘光选手。

task1：
$∑i=1n∑j=1ni∗j∗[(i,j)=1]\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i*j*[(i,j)=1]$
直接反演：
$∑d=1nμ(d)∗(∑d∣i,i<=n)2\sum_{d=1}^n\mu(d)*(\sum_{d|i,i<=n})^2$
然后发现怎么要分块，TLE？？？
其实可以用调和级数优化，即增加一个n，就枚举约数，更新即可。

但是不要忘了和i互质的数的和可以直接用 $ϕ\phi$ 搞

$=(∑i=1n∑j=1ii∗j∗[(i,j)=1])∗2−1=(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii*j*[(i,j)=1])*2-1$
$=∑i=1ni2∗ϕ(i)−1=\sum_{i=1}^ni^2*\phi(i)-1$
这个是 $O (n)$ 的

task2：
$∑i=1n∑j=1nμ(i∗j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(i*j)$
经典套路了：
$=∑i=1n∑j=1nμ(i∗j)∗[(i,j)=1]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(i*j)*[(i,j)=1]$
$=∑d=1nμ(d)∗(∑d∣iμ(i))2=\sum_{d=1}^n\mu(d)*(\sum_{d|i}\mu(i))^2$
这个用调和级数优化即可，同上。

task3：
$s (n)$ 为task1得到的
$g (n)$ 为task2得到的
$ans=∑T∈Sg(gcd(T))∗∏s[a∈T]ans=\sum_{T∈S}g(gcd(T))*\prod s[a∈T]$

这种肯定下放约数mobius反演啦：
若有两函数 $f, g$ ：
$f(d)=∑d∣ig(i)f(d)=\sum_{d|i}g(i)$
则 $g(d)=∑d∣if(i)∗μ(i/d)g(d)=\sum_{d|i}f(i)*\mu({i/d})$

设 $c n t [d]$ 为当前的 $∏d∣x(s[x]+1)\prod_{d|x}(s[x]+1)$
$Ans=∑d=1ng(d)∗∑d∣icnt[i]∗μ(i/d)Ans=\sum_{d=1}^n g(d)*\sum_{d|i}cnt[i]*\mu(i/d)$
$=∑icnt[i]∗∑d∣ig(d)∗μ(i/d)=\sum_{i}cnt[i]*\sum_{d|i}g(d)*\mu(i/d)$

那么预处理：
$sf(i)=∑d∣ig(d)∗μ(i/d)sf(i)=\sum_{d|i}g(d)*\mu(i/d)$ 即可

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(itn i = x, B = y; i >= B; i --)
#define pp printf
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 4e5 + 5;

int n, m, op, x, a[N];
int bz[N], mu[N], p[N], phi[N], sm[N];
ll s[N], g[N], c[N], cc;
vector<int> d[N];
#define si size()

const int mo = 998244353;

ll gcd(int x, int y) {
	return !y ? x : gcd(y, x % y);
}

ll la, sf[N], cnt[N];

int main() {
	freopen("lalaland.in", "r", stdin);
	freopen("lalaland.out", "w", stdout);
	scanf("%d %d %d", &n, &m, &op);
	fo(i, 2, m) {
		if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i, mu[i] = -1, phi[i] = i - 1;
		for(int j = 1; i * p[j] <= m; j ++) {
			int k = i * p[j]; bz[k] = 1;
			if(i % p[j] == 0) { mu[k] = 0; phi[k] = phi[i] * p[j]; break;}
			mu[k] = -mu[i];
			phi[k] = phi[i] * (p[j] - 1);
		}
	} mu[1] = phi[1] = 1;
	s[1] = 1; s[2] = 5;
	fo(i, 3, m) s[i] = (s[i - 1] + (ll) i * i * phi[i]) % mo;
	fo(i, 1, m) fo(j, 1, m / i) d[i * j].push_back(i);
	fo(i, 1, m) {
		ff(j, 0, d[i].si) {
			int x = d[i][j];
			cc -= mu[x] * c[x] * c[x];
			c[x] += mu[i];
			cc += mu[x] * c[x] * c[x];
		}
		g[i] = cc;
	}
	fo(i, 1, m) fo(j, 1, m / i) sf[i * j] = (sf[i * j] + g[i] * mu[j] + mo) % mo;
	fo(i, 1, m) cnt[i] = 1;
	fo(i, 1, n) {
		scanf("%d", &a[i]);
		if(!op) x = a[i]; else x = (19891989ll * la + a[i]) % m + 1;
		a[i] = x;
		ff(j, 0, d[x].si) {
			int y = d[x][j];
			la -= (cnt[y] - 1) * sf[y] % mo;
			cnt[y] = cnt[y] * (s[x] + 1) % mo;
			la += (cnt[y] - 1) * sf[y] % mo;
		}
		la = (la % mo + mo) % mo;
		if(op) pp("%lld\n", la);
	}
	if(!op) pp("%lld\n", la);
}