Description
有m个区间加组合数操作,对于l≤i≤rl\leq i\leq rl≤i≤r,给aia_iai加上Ci−l+kkC_{i-l+k}^kCi−l+kk,aia_iai初始为0,k<=20k<=20k<=20。问最后所有aia_iai的值。
Solution
做法很多。
可以对kkk分类,对于每个kkk,执行区间加的一个区间[l,r][l,r][l,r]的每个iii相当于加上一个关于iii的kkk次多项式,我们把多项式的系数求出来,那么区间操作相当于将这些系数进行累加,可以用差分,在lll处打上这些系数,在r+1r+1r+1减去,最后只用求前缀和即可。
其实我们发现,对于一个三元组(l,r,x)(l,r,x)(l,r,x),如果r=nr=nr=n,我们开一个k×nk\times nk×n的数组bbb,在bk,lb_{k,l}bk,l上+1+1+1,最后向上向右做前缀和,b0,ib_{0,i}b0,i就是答案,可以理解成为一个从(k,l)(k,l)(k,l)位置开始的向右上方的杨辉三角。对于r<nr<nr<n我们只要在每个bi,r+1b_{i,r+1}bi,r+1减去相应的值即可。实际上就是维护k阶差分。
Code
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+50,mo=1e9+7;
ll c[N][22],b[N][22];
ll pow(ll x,int y){
ll b=1;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if(y&1) b=b*x%mo;
return b;
}
int main()
{
freopen("sequence.in","r",stdin);
freopen("sequence.out","w",stdout);
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
c[0][0]=1;
fo(i,1,n+20){
c[i][0]=1;
fo(j,1,20) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
}
while(m--){
int l,r,k;
scanf("%d %d %d",&l,&r,&k);
b[l][k]++;
fo(i,0,k) b[r+1][k-i]=(b[r+1][k-i]-c[r-l+i][i]+mo)%mo;
}
fd(j,20,0)
fo(i,1,n) b[i][j]=(b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j+1])%mo;
fo(i,1,n) printf("%lld\n",b[i][0]);
}