【JZOJ5922】sequence

最新推荐文章于 2020-02-02 21:41:22 发布

sadnohappy

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本文探讨了在m个区间内进行加法和组合数操作的算法解决方案，具体介绍了如何通过差分和前缀和技巧高效计算每个元素的最终值。针对不同情况，文章提供了详细的代码实现和解释。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有m个区间加组合数操作，对于 $l≤i≤rl\leq i\leq r$ ，给 $a_i$ 加上 $C_{i-l+k}^k$ ， $a_i$ 初始为0， $k < = 20$ 。问最后所有 $a_i$ 的值。

Solution

做法很多。
可以对 $k$ 分类，对于每个 $k$ ，执行区间加的一个区间 $[l, r]$ 的每个 $i$ 相当于加上一个关于 $i$ 的 $k$ 次多项式，我们把多项式的系数求出来，那么区间操作相当于将这些系数进行累加，可以用差分，在 $l$ 处打上这些系数，在 $r + 1$ 减去，最后只用求前缀和即可。

其实我们发现，对于一个三元组 $(l, r, x)$ ，如果 $r = n$ ，我们开一个 $k×nk\times n$ 的数组 $b$ ，在 $b_{k,l}$ 上 $+ 1$ ，最后向上向右做前缀和， $b_{0,i}$ 就是答案，可以理解成为一个从 $(k, l)$ 位置开始的向右上方的杨辉三角。对于 $r < n$ 我们只要在每个 $b_{i,r+1}$ 减去相应的值即可。实际上就是维护k阶差分。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+50,mo=1e9+7;
ll c[N][22],b[N][22];
ll pow(ll x,int y){
	ll b=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if(y&1) b=b*x%mo;
	return b;
}
int main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	c[0][0]=1;
	fo(i,1,n+20){
		c[i][0]=1;
		fo(j,1,20) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
	}
	while(m--){
		int l,r,k;
		scanf("%d %d %d",&l,&r,&k);
		b[l][k]++;
		fo(i,0,k) b[r+1][k-i]=(b[r+1][k-i]-c[r-l+i][i]+mo)%mo;
	}
	fd(j,20,0)
	fo(i,1,n) b[i][j]=(b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j+1])%mo;
	fo(i,1,n) printf("%lld\n",b[i][0]);
}