Codeforces 407C&408E Curious Array 组合数多层差分

在退役之前,最后发几篇杂谈,就算只能再拿省二滚蛋,也要与命运抗争到底.
CF的评测机最近有点儿力不从心…
没想到做过的题又被考了一遍还是做不出,实在不甘心.

题意

$$\begin{gathered} 给一个序列,有n次操作,每一次给[l,r]加上C_{i-l+k}^k,其中l\le i\le r. \\ 最后输出操作完的序列. \end{gathered}$$

题解

看到先操作再询问,又是区间加之类的,想到标算应该是差分.
但是区间加组合数不同于一般的差分,我们暂时想不到有什么方法处理.
那么我们先来考虑简单的情况.
当$k=0$时,必然有加上的每一个数都等于$1$.这时只要普通差分即可,不用多解释.
来看$k=1$时的情况,此时加上的每一个数等于$i-l+1,i\in [l,r]$,也就是区间加了一个等差数列.
区间加等差数列的情况大家想必也都知道怎么差分.
洛谷p4231 三步必杀 洛谷经典差分题,区间加等差数列,推荐大家去做一做.
我们令$a[1][i]$表示二层差分数组,在$a[1][l]+1$,$a[1][r+1]-1$,这样子二层差分的结果在$[l,r]$中就等于$1,1,1,1,1,1...$.如果在一层再差分一次,结果就是$1,2,3,4,5,6...$,这时我们再在一层的$a[0][r+1]$的地方把多出来的$r-l+1$减掉,就搞定了.
根据这样的情况大胆猜想,我们对于每一次操作都要差分$k$层.
每一次把$a[k][l]+1$,然后用一个$j$从$0$到$k$,分别把每一层差分从$r+1$个位置开始会多加的数给减掉.可以发现这些结果全部是组合数.
因此只要用杨辉三角或者阶乘逆元预处理组合数,每一次$O(k)$差分,最后一遍$O(nk)$处理从最后一层差分回第一层,并输出加上原数组的结果即可.
谢谢大家.
希望大家对差分的理解更深一层,也希望我对差分也能理解得更深一点.

#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
namespace chtholly{
typedef long long ll;
#define re0 register int
#define rel register ll
#define rec register char
#define gc getchar
//#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<23,stdin),p1==p2)?-1:*p1++)
#define pc putchar
#define p32 pc(' ')
#define pl puts("")
/*By Citrus*/
char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
  int x=0,f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-';
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return f?x:-x;
  }
template <typename mitsuha>
inline bool read(mitsuha &x){
  x=0;int f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-';
  if (!~c) return 0;
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return x=f?x:-x,1;
  }
template <typename mitsuha>
inline int write(mitsuha x){
  if (!x) return 0&pc(48);
  if (x<0) pc('-'),x=-x;
  int bit[20],i,p=0;
  for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10;
  for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48);
  return 0;
  }
inline char fuhao(){
  char c=gc();
  for (;isspace(c);c=gc());
  return c;
  }
}using namespace chtholly;
using namespace std;
const int yuzu=2e5,mod=1e9+7;
typedef ll rize[yuzu|10];
rize a[115],jic={1},inv;

namespace quick{ // 快速幂等公式
ll kasumi(ll a,ll b=mod-2) {
  ll s=1;
  for (;b;b>>=1,a=a*a%mod) if (b&1) s=s*a%mod;
  return s;  
  }
void add(ll &a,ll b){if ((a+=b)>=mod) a-=mod;}
void sub(ll &a,ll b){if ((a-=b)<0) a+=mod;}
ll zuhe(int n,int m){return jic[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
}using namespace quick;

void preget(int n,int i=1) { // 预处理阶乘逆元
for (;i<=n;++i) jic[i]=jic[i-1]*i%mod;
inv[n]=kasumi(jic[n]);
for (i=n-1;~i;--i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}

int main() {
int i,j,n,m,l,r,k;
read(n),read(m),preget(yuzu);
static rize p;
for (i=1;i<=n;++i) p[i]=read();
for (i=1;i<=m;++i) {
  l=read(),r=read(),k=read();
  add(a[k][l],1);
  for (j=0;j<=k;++j) 
    sub(a[j][r+1],zuhe(k-j+r-l,k-j)); // 稍微算一下,可以发现每一层多加的数也是组合数.
  }
for (i=100;~i;--i)
  for (j=1;j<=n;++j) 
    a[i][j]=(a[i][j]+a[i+1][j]+a[i][j-1])%mod;
for (i=1;i<=n;++i) write((a[0][i]+p[i])%mod),p32;
}