AdderNet

  AdderNet是由华为、北大和悉尼大学共同提出的一个网络层结构。主要思想是用加法代替卷积层特征计算的乘法，从而实现减少深度网络的计算。

1、卷积计算

  在深度卷积神经网络中，设$F\in R^{d\times d\times c_{in}\times c_{out}}$是一个卷积核，输入的特征图是$X\in R^{H\times W\times c_{in}}$，则它们的卷积计算如下：
$$Y(m,n,t)=\sum _{i=0}^d\sum _{j=0}^d\sum _{k=0}^{c_{in}}X(m+i,n+j,k)\ast F(i,j,k,t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
  把卷积核拉平成一个向量，对应的特征图区域也拉平成一个向量，单层特征图卷积可写成如下形式：
$$Y^{\prime }=\sum _{i=0}^{d^2-1}X(i)\cdot F(i)\text{\hspace{1em}(2)}$$
  卷积描述和向量的内积是一样的，也就是说卷积描述的是两个向量的相似程度，而描述向量相似程度的还有其他的形式，比如说$L_2$距离和$L_1$距离。
  在这篇文章中，采用$L_1$ 距离代替卷积，这样就把乘法用加法替换了。

2、特征的加法计算

  用$L_1$距离替换卷积计算，公式$(1)$就可写成如下形式：
$$Y(m,n,t)=-\sum _{i=0}^d\sum _{j=0}^d\sum _{k=0}^{c_{in}}|X(m+i,n+j,k)-F(i,j,k,t)|\text{\hspace{1em}(3)}$$
  用公式$(3)$计算的特征都是负数，因此在特征计算后，采用BN层来归一化，之后再用激活函数提高特征非线性。

3、优化

  反向传播计算加法层对参数的偏导是一个符号函数：
$$\frac{\partial Y(m,n,t)}{\partial F(i,j,k,t)}=sgn(X(m+i,n+j,k)-F(i,j,k,t))\text{\hspace{1em}(4)}$$
  由公式$(4)$可知，加法层计算的梯度只是三个数$-1,0,1$中的一个。但是其梯度并不是梯度下降最快的方向，而且随着维度的增加，其指向性更差。因此公式$(4)$并不适合用于优化含有大量参数的神经网络。作者用公式$(5)$来更新AdderNet的梯度：
$$\frac{\partial Y(m,n,t)}{\partial F(i,j,k,t)}=X(m+i,n+j,k)-F(i,j,k,t)\text{\hspace{1em}(5)}$$
  作者还发现输入特征$X$的梯度对参数的更新也很有用。为了避免$X$的梯度绝对值大于1而造成的梯度爆炸，对其进行了限制：
$$\frac{\partial Y(m,n,t)}{\partial X(m+i,n+j,k)}=HT(F(i,j,k,t)-X(m+i,n+j,k))\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中
$$HT(x)=\{\begin{array}{ll}x& if-1<x<1\\ 1& x>1\\ -1& x<-1\end{array}$$
  梯度计算也好了，似乎一切都好了，但是还是有个问题：加法层的方差会很大。

4、自适应可学习尺度

  假设权重和输入特征是独立同分布的正态分布，用卷积计算的输出方差是：
$$Var[Y_{CNN}]=\sum _{i=0}^d\sum _{j=0}^d\sum _{k=0}^{c_{in}}Var[X\times F]=d^2{c}_{in}Var[X]Var[F]\text{\hspace{1em}(7)}$$
  而对于加法层的输出方差是：
$$Var[Y_{Adder}]=\sum _{i=0}^d\sum _{j=0}^d\sum _{k=0}^{c_{in}}Var[|X-F|]=(1-\frac{2}{\pi })d^2{c}_{in}(Var[X]+Var[F])\text{\hspace{1em}(8)}$$
  在BN层的损失函数$l$对$x$的偏导是和方差有关的：
∂l∂xi=∑j=1mγm2σB{∂l∂yi−∂l∂yj[1+(xi−xj)(xj−μB)σB]}(9)\frac{\partial{l}}{\partial{x_i}}=\sum_{j=1}^{m}{\frac{\gamma}{m^2\sigma_B}\{\frac{\partial{l}}{\partial{y_i}}-\frac{\partial{l}}{\partial{y_j}}[1+\frac{(x_i-x_j)(x_j-\mu_B)}{\sigma_B}]\}}\tag{9}∂xi​∂l​=j=1∑m​m2σB​γ​{∂yi​∂l​−∂yj​∂l​[1+σB​(xi​−xj​)(xj​−μB​)​]}(9)
  其中${\sigma }_B$是输入特征的方差。
  CNN权重的方差都很小的，一般的数量级在$10^{-3}$或者$10^{-4}$。因此用一个很小的数乘以$Var[X]$比两者相加要小很多，因此公式$(9)$中的梯度就会小很多，这就会使得参数更新变得很慢，甚至会停在鞍点上。

  虽然可以采用大的学习率来提升学习过程效果，但是从上图可以看出不同层其权重梯度变化很大，这表明每一层的参数需要不同。因此作者给每一层设计了不同学习率：
$$\Delta F_l=\gamma \times {\alpha }_l\times \Delta (F_l)\text{\hspace{1em}(10)}$$
  这里的$\gamma$是全局学习率，$\Delta (F_l)$是卷积核的梯度，${\alpha }_l$是对应的局部学习率。输入是经过BN的，也就是说在AdderNet中，filters的值也是经过了归一化，因此将局部学习率定义为如下形式：
$${\alpha }_l=\frac{\eta \sqrt{k}}{||\Delta (F_l)|{|}_2}\text{\hspace{1em}(11)}$$
  这里的$\eta$是一个控制加法filter学习率的超参数，$k$是$F_l$中参数的个数。

5、训练流程及实验结果

训练流程如下：

实验结果

5.1、特征的分布

5.2、在CIFAR-10和CIFAR-100测试结果

5.2、在ImageNet测试结果

  从测试结果看，效果不错，但是没有给出前向结构的运行时间，感觉可能是时间也还是个瓶颈。虽然单个加法运算所需要的时间比乘法的要少，但是从公式$(3)$可以看出在计算特征时需要判断计算值的符号，并且这个判断是在大量的循环内的，这需要消耗大量的时间，很可能比卷积消耗的时间还要多。