去雾算法

“Single Image Haze Removal Using Dark Channel Prior”阅读笔记
含雾图像的模型可用如下等式表示：

$$I(x) = J(x)t(x) + A(1-t(x))$$
其中$I$是实际获取到的图像，$J$是场景辐射光，$A$是大气光，$t$是介质传导系数。
根据文章，我们先估计出Atmospheric Light量A。文章认为暗通道中最亮的0.1%像素是被雾化的。输入图像$I$在这些位置上最亮的像素值就是Atmospheric Light。
估计出A后就可计算传导系数$t(x)$：
$$\hat{t}(x) = 1 - \omega{{min}_{y\in\Omega{(x)}}}({min}_c\frac{I^c(y)}{A^c})$$
其中$c\in{(r, g, b)}$，参数$\omega$是为了保证图像的深度，论文中取值为0.95。
通过这种方法估计出来的传导系数是比较粗糙的，论文中用Soft Matting方法对其进行了优化，优化结果是计算如下等式：
$$(L+\lambda{U})t = \lambda{\hat{t}}$$
其中$\lambda{ = 10^{-4}}$，$U$是和$L$相同纬度的单位矩阵，矩阵$L$是matting Laplacian matrix，其第$(i, j)$元素计算公式如下：
$$\sum_{k|(i, j)\in{\omega_k}}({\delta_{ij}-\frac{1}{|\omega_k|}(1+(I_i-\mu_k)^T(\sum_k+\frac{\varepsilon}{|\omega_k|}U_3)^{-1}(I_j-\mu_k)))}$$
其中$I_i$和$I_j$分别是输入图像$I$第$i$和$j$像素的颜色值，$\delta_{ij}$是$\delta$函数，$\mu_k$和$\sum_k$是窗口$\omega_k$各颜色分量的均值和协方差矩阵，$U_3$是一个$3\times{3}$单位矩阵（identity matrix），$\varepsilon$是规则化参数，$|\omega_k|$表示窗口$\omega_k$内像素的个数。
求出传导系数$t$后，在对其进行双边滤波（bilateral filter）。
得到了传导系数和环境光后，就可计算出去雾后图像：
$$J(x) = \frac{I(x) - A}{max(t(x), t_0)} + A$$
其中$t_0$一般取值为0.1，设置这个参数是因为场景辐射光易受噪声的干扰。