24、时间序列估计中的数据生成、子带谱分析与缺失数据处理

时间序列估计中的数据生成、子带谱分析与缺失数据处理

1. 数据生成

1.1 基本原理

若规定的谱密度或自协方差函数由时间序列模型的参数描述，数据生成就很直接。否则，需确定一个时间序列模型来生成等距离散时间数据。对于离散谱，频率范围自然受限；对于连续时间谱且频率范围无限的情况，需确定感兴趣的最高频率。

1.2 特殊情况处理

在连续时间过程的模拟中，离散时间数据的生成有特殊情况。利用时间序列模型，可在有限频率范围内生成具有任意所需谱斜率的等距离散时间数据。例如，在湍流问题中，谱与 (f^{-5/3}) 或 (f^{-7}) 成正比。对于 (1/f) 噪声，其期望谱在 (f) 趋近于 0 时会无限增大。由于在 (N) 个等距观测中能检测到的最低频率约为 (1/N)，所以生成的谱只需在 (1/N) 到采样频率的一半之间准确即可。低于 (1/N) 的目标谱可从略高于 (1/N) 的频率外推得到。

1.3 模型阶数限制

Broersen 和 de Waele（2003）使用模型误差（ME）来限制生成 AR 模型的阶数。首先，用一个非常高阶的 AR 模型逼近期望谱，通过足够高的 AR 阶数可实现任意所需的精度。然后，计算高阶 AR 模型与 AR(L) 模型之间的 ME 值，对于给定的 (N)，阶数 (L) 需使 ME 值小于 1。

1.4 ARMA 过程数据生成

生成 ARMA 过程的平稳数据时，初始化需谨慎。若使用零或任意值作为初始值，生成的信号只有在脉冲响应持续时间后才会严格平稳。对于 AR 和 ARMA 过程，脉冲响应是无限长的，因此这种不考虑初始条件的原始数据生成方法仅对