14、迭代与顺序投票：收敛性与无环性分析

迭代与顺序投票：收敛性与无环性分析

1. 引言

在投票机制中，我们常常关注两个关键问题：一是能否刻画稳定状态，二是迭代过程是否能引导社会达成一个良好的社会结果。顺序投票机制将投票过程划分为多个步骤，例如在每个步骤中可以让单个选民投票，或者让所有选民就单个问题进行投票。每一步骤结束后，结果会公开，选民在考虑下一步行动时可以参考这些结果。在博弈论中，针对这类博弈的标准解决方案概念是子博弈完美均衡，它基于逆向归纳法。

2. 收敛性与无环性

2.1 局部改进图

给定一个博弈 $\langle f, L\rangle$、一个玩家 $i \in N$ 和一个行动配置 $a \in A$，定义 $I_i(a) = {a’ i \in A_i : f(a {-i}, a’ i) \succ_i f(a)}$，即玩家 $i$ 在配置 $a$ 下的所有更好回复的集合。任何（序数或基数）博弈 $G = \langle f, L\rangle$ 都会诱导出一个有向图 $H_G = \langle A, I\rangle$，其顶点是所有行动配置（状态）$A$，边 $I$ 对应单个玩家的可能移动。也就是说，如果存在玩家 $i$ 使得 $a’_i \in I_i(a)$，且 $a’ = (a {-i}, a’_i)$，则 $(a, a’) \in I$。这个图 $H_G$ 被称为 $G$ 的局部改进步骤图。

$H_G$ 的汇点是所有没有出边的状态。在本章中，由于步骤对应更好回复，状态 $a \in A$ 是 $H_G$ 的汇点当且仅当它是 $G$ 的纯纳什均衡（PNE）。需要注意的是，图 $H_G$ 并不能唯一确定博弈