14、社会选择理论中的计算机辅助方法：从基础到应用

社会选择理论中的计算机辅助方法：从基础到应用

1. 引言

在数学领域，计算机辅助证明已取得显著进展。早期的四色定理是借助计算机证明数学结果的著名范例。近年来，人工智能尤其是约束求解技术的进步，有望大幅拓展可由计算机辅助证明的定理范围，如埃尔德什差异猜想的特殊情况以及布尔毕达哥拉斯三元组问题的解决方案。这些计算机生成的证明通常以计算机可检查的格式呈现，规模巨大，难以被人类检查。不过，本文将讨论的计算机辅助证明具有可转化为人类可读版本的显著特点。

社会选择理论研究群体决策，旨在将多个个体的偏好聚合为一个共同决策。该领域具有三个适合应用计算机辅助推理的特点：采用公理方法、涉及组合结构以及主要概念可基于基础数学概念定义。因此，使用计算机辅助证明社会选择理论中的不可能性定理成为可能。不可能性定理断言不存在满足一组特定理想公理的偏好聚合程序，例如吉巴德 - 萨特思韦特定理表明不存在同时满足非独裁、满射和防策略性的投票规则。

2. 证明技术概述

证明不可能性定理的一种方法是限制参与的候选方案和选民数量为有限值，然后遍历所有可能的投票规则，检查是否有规则满足所有公理。然而，这种方法会导致组合爆炸，简单的搜索不可行。

本文的主要工具是SAT求解器，它可以利用公理进行逻辑推理，使搜索变得可行。SAT求解器是应用强大推理策略来判断给定命题公式是否有满足赋值的计算机程序。过去二十年，求解时间显著缩短，尽管问题具有NP完全性，但定期的“SAT竞赛”催生了越来越快的求解器，且大多数求解器可供研究人员免费使用。

证明技术的核心步骤如下：
1. 固定有限数量的选民 (n) 和候选方案 (m)，例如 (n = m = 3)。
2. 生成一个命