4、量子力学基础与泡利不相容原理

量子力学基础与泡利不相容原理

1. 量子力学基本概念

在量子力学中，全同粒子的不可区分性对系统的波函数施加了严格限制。当对交换算符 $\hat{P} {ij}$ 作用两次时，其效果相当于没有作用，即 $\hat{P} {ij}^2 = 1$，由此可得 $c^2 = 1$，$c = \pm1$。这表明 $\hat{P}_{ij}$ 只有两个本征值，当 $c = +1$ 时，对应的波函数称为对称波函数；当 $c = -1$ 时，对应的波函数称为反对称波函数。这就是全同粒子不可区分性原理，即全同粒子系统中任意一对粒子的交换要求系统的波函数是对称或反对称的，且不随时间变化。

实验表明，全同粒子系统波函数的交换对称性与粒子的自旋有关。对于具有整数自旋（$s = 0, 1, 2, \cdots$）的粒子，系统波函数在粒子交换时总是对称的，这类粒子称为玻色子；而对于具有半整数自旋（$s = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \cdots$）的粒子，系统波函数在粒子交换时总是反对称的，这类粒子称为费米子。

2. 泡利不相容原理

电子的自旋 $s = \frac{1}{2}$ 为半整数，因此多电子系统的总电子波函数对于任意一对电子的所有坐标交换必须是反对称的，即：
[
\begin{matrix}
\hat{P}_{ij}^2\Psi(q_1, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N) \
= \Psi(q_1, \cdots, q_i, \cdots, q_j, \cdots, q_N) \
= -\Psi(q_1, \cdots, q_i, \c