5、简单异步元胞自动机分类研究

简单异步元胞自动机分类研究

1. 引言

异步元胞自动机（CA）的研究一直是一个具有挑战性的领域。我们关注的问题是，异步 CA 相较于同步 CA，是更简单还是更难研究。乍一看，由于存在在多种意义上具有通用性的异步 CA，其动力学复杂性似乎达到了最大值。然而，如果将研究范围限制在有限的规则集，如 256 个基本元胞自动机（ECA）或二维中具有最近邻相互作用的 64 个全和规则，这个问题就变得更有趣了。

对于异步 ECA，我们曾基于收敛到固定点的时间对部分规则进行了分类，采用的是完全异步更新方式，即每个时间步仅随机更新一个单元。这种更新方式极大地简化了规则动力学的研究，因为在转换过程中不允许同时性。而在 α - 异步动力学中，单元以给定概率独立更新，分析则变得更加复杂。二维情况下，对于具有冯·诺依曼邻域的 64 个全和规则，理解其动力学也非常困难，我们只能对收敛特性进行一些严格的计算。

为了更全面地了解这些简单异步 CA，我们将通过实验观察尚未完全理解的规则的行为，并在可能的情况下给出其收敛特性的证明草图。我们的目标是确定简单规则所展现的复杂性是否仅依赖于同步更新。如果是这样，那么通过在更新中引入随机性，可能会打破使系统复杂的许多机制，从而使系统更易于研究。但也有可能随机性会使系统行为变得更加难以研究。

2. 定义

为了简化，我们先定义一维元胞自动机，这些定义将在后续扩展到二维情况。设 Λ = (Z/nZ) 表示排列成环的 n 个单元的集合。元胞自动机是由排列在 Λ 上的单元组成的动态系统，每个单元可以持有二进制状态（用 0 和 1 表示），配置是系统在给定时间的状态，配置空间为 En = {0, 1}Λ，它是有限的，且 |En| = 2n。