UVA12716 GCD(a, b)= a^b的结论

最新推荐文章于 2021-09-10 17:52:23 发布

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本文探讨了在特定条件下GCD(a,b)与a^b的关系，并给出了一种求解特定数学问题的有效算法实现。

题目大意：给定N，规定1<=B<=A<=N，问有多少对A,B能使得GCD(a, b) = A ^ B，N的范围是三千万，时间范围5000ms

这道题需要证明一个结论
$当b⩽a时,当b\leqslant a时,$ $GCD(a,b)⩽a−b⩽a⊕bGCD(a,b)\leqslant a-b\leqslant a\oplus b$
左边的不等号显然成立；考虑右边，根据异或的运算法则，将a和b都转换成二进制，从右往左看，如果对应位置相同，那么异或结果为0，作差也为0；如果不同，如果a位置上为1，那么作差结果为1，异或结果也是1，如果a位置上是0，那么作差结果为1，异或结果也是1，但是会牵扯到上一位，可能会因为借位导致异或结果为1，而作差仍然是0
因为异或是同出0，异出1，而作差在当前位置上也是同出0，异出1，但是会影响上一位，也就是说，异或可能导致变大或不变，但作差只能导致变小，所以右边不等号成立
数学推导可能要查阅相关资料吧，不清楚这个在哪本书里面有详细推导过程。理解到这里，记住结论我认为就可以了
那么知道了这个结论，题目中说GCD(a, b)=a^b，根据不等式，他们应该相等
这道题，因为时间限制比较宽，我们枚举每个因子c，c就是GCD(a,b)，通过c找a，如果满足b=a-c，那么就是一个可行解，预处理，把可行解都放在一个数组中，最后累加得到每一个答案

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 3e7 + 10;
int Data[MAXN];
int main(){
	int t, n;
	for(int c=1;c<=MAXN;c++){
		for(int a=2*c;a<=MAXN;a+=c){
			int b = a - c;
			if(c == (a ^ b)) Data[a]++;
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAXN;i++){
		Data[i] += Data[i-1];
	}
	cin >> t;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		cin >> n;
		cout << "Case " << i << ": " << Data[n] << "\n";
	}
	return 0;
}