10.1 数论初步

10.1 数论初步

这一章开始讲一些关于数论的初步知识。

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10.1.1 欧几里得算法和唯一分解定理

除法表达式

给出一个这样的除法表达式，x1/x2/x3···/xk，其中xi是正整数。除法表达式应当按照从左到右的顺序求和，例如1/2/1/2的值为1/4。现在可以在表达式中添加括号用来改变运算顺序。

判断是否可以通过添加括号，使表达式的值为整数。

分析：首先我们需要知道的是，给表达式中的一段加了括号，相当于对这个括号内的xj前面的/改成了*。我们现在考虑一个情况：假设我们改变了xi到xj之前的符号，然后再改变x(i+1)到xj之前的符号。事实上两次操作之后只有xi之前的符号发生了改变。

表达式的值一定可以写成若干个xi的乘积除以若干个xj的乘积。于是根据上面的结论我们可以知道：除了x2必须放在分母的位置，其他数都可以放在分子的位置。

于是问题就转化为了，判断E=x1x3x4···xk/x2是否为整数。

直接进行高精度计算显然不怎么合理，书上提供了两种方法：

第一种方法是利用唯一分解定理，将X2分解成若干个素数相乘的形式：X2=p1^a1p2^a2p3^a3·······

然后依次判断每个pi^ai是否是x1x3x4···xk的约数，只需将xi中pi的指数全部相加，判断结果是否比ai大即可。

第二种方法是直接约分：每次约掉xi和x2的最大公约数，直到x2被约分到1。两个函数如下：

int gcd(int a,int b){
   return b==0?a:gcd(b,a%b);}//辗转相除法求最大公约数 
int judge(int *x){
   x[2]/=gcd(x[2],x[1])
	for