UVa12716 - GCD XOR

最新推荐文章于 2021-08-07 16:28:44 发布

东さん

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分类专栏：数论文章标签： gcd xor

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本文探讨了一种特殊的数学问题：寻找满足特定条件的整数对(a, b)，使得a与b的最大公约数等于a与b的异或结果。通过观察发现了一个规律：最大公约数等于两数之差。利用此规律，文章提出了一种高效的解决方案，并提供了一个C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

输入一个整数，有多少对（a，b）满足1<=b<=a<=n，且
gcd（a，b） = a xor b
gcd是最大公约数
xor 是异或运算，2进制 1001^1011=0010 相同为0，不同为1

设gcd（a，b） = a xor b = c
打印一些满足条件的a，b，c，然后发现c = a - b

有了这个规律就大大节约了时间，遍历a和c，用a-c表示b
在遍历的时候，因为c是a的最大公约数，所以a = c + c，然后a += c，这样就避免了gcd的耗时

#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 30000010;

int vis[MAXN];

void init() {
    for(int c = 1; c < MAXN; c++) {//优先循环c
        for(int a = c + c; a < MAXN; a += c) {//a是c的倍数
            if((a ^ (a - c) )== c) {//现在gcd(a,b)==c了，只需异或判断
                vis[a]++; //这里是每个a对应的个数
            }
        }
        vis[c] += vis[c - 1];//因为需要统计所有个数，需要把前面的加到后面
    }
}

int main() {
    int t, kase = 0;
    cin >> t;
    init();
    while(t--) {
        int n;
        cin >> n;
        printf("Case %d: ", ++kase);
        cout << vis[n] << endl;
    }
    return 0;
}