7、静态与动态估计采样：理论、问题与方法解析

静态与动态估计采样：理论、问题与方法解析

1. 静态估计与采样概述

静态估计问题常涉及到形如 (m = Wz + v) 的方程，其中 (W) 由特定权重决定，(v) 是与仪器设计相关的噪声项。此问题通常是欠约束的，所以需要对 (z) 进行正则化，常见的做法是保证其平滑性。由于该逆问题是一维的，未知量数量有限，可通过矩阵求逆直接求解，也可使用解析方法或神经网络。

1.1 最小二乘问题

给定最小二乘问题 (m = Cz)，目标是最小化加权平方误差：
(\hat{z} = \arg_{z} \min \left[ (m - Cz)^T W(m - Cz) \right])
其最优解为 (\hat{z} = \left[ C^T WC \right]^{-1} C^T Wm)。

1.2 约束正则化问题

对于约束正则化问题，目标是最小化加权平方误差：
(\min \left[ |m - C\hat{z}|_{R^{-1}} + \lambda |L\hat{z}| \right])
最优解为 (\hat{z} = \left[ C^T R^{-1}C + \lambda L^T L \right]^{-1} C^T R^{-1}m)。

1.3 静态贝叶斯估计问题

给定静态贝叶斯估计问题：
(z \sim (\mu, P))
(m = Cz + v)
(v \sim (0, R))
最优估计器有两种代数等价形式：
- 形式 I：
(\hat{z}(m) = \mu + (PC^T)(CP^T C + R