6、贝叶斯估计、静态采样与数据融合技术解析

贝叶斯估计、静态采样与数据融合技术解析

1. 贝叶斯估计基础

1.1 线性最小均方误差（LLSE）估计器推导

在贝叶斯估计中，首先定义了协方差和互协方差。设 $\Lambda$ 表示协方差或互协方差，有 $\Lambda_m = cov(m)$，$\Lambda_{zm} = E[(z - \mu_z)(m - \mu_m)^T]$。为了使 $(A\Lambda_m - \Lambda_{zm})F^T = 0$ 对所有可能的 $F$ 都成立，可推出 $A = \Lambda_{zm}\Lambda_m^{-1}$。由此得到 LLSE 估计器公式：$\hat{z} = A m + \alpha = \mu_z + \Lambda_{zm}\Lambda_m^{-1}(m - \mu_m)$。

这个估计器直观上是在均值 $\mu_z$ 的基础上，加上由于测量“意外”产生的偏移。该偏移是观测值与期望值之差 $(m - \mu_m)$ 经过测量中预期随机（噪声）变化 $\Lambda_m$ 归一化，并通过 $\Lambda_{zm}$ 从 $m$ 的单位转换到 $z$ 的单位得到的。

1.2 估计器误差统计推导

估计器的误差协方差 $cov(\hat{z} - z)$ 可推导如下：
[
\begin{align }
cov(\hat{z} - z) &= cov[\Lambda_{zm}\Lambda_m^{-1}(m - \mu_m) - (z - \mu_z)]\
&= (\Lambda_{zm}\Lambda_m^{-1})\Lambda_m(\Lambda_{zm}