5、线性估计与采样问题的深入解析

线性估计与采样问题的深入解析

1. 样本问题概述

首先来看一系列样本问题，这些问题涵盖了逆问题中的唯一性、存在性、解的数量以及矩阵条件数等多个方面。

1.1 唯一性和不适定问题（问题 2.1）

• 定义“唯一性” ：明确唯一性在逆问题中的含义。
• 给定矩阵 (C = \begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}) ：
  • 计算 (Rank(C)) ：矩阵 (C) 的秩为 1。
  • 计算或描述 (Ra(C))，(Nu(C)) ：(Ra(C)) 是由矩阵 (C) 的列向量张成的空间，这里 (Ra(C)) 是一维的；(Nu(C)) 是满足 (Cz = 0) 的所有向量 (z) 的集合，可通过求解线性方程组得到。
  • 判断逆问题 (m = Cz) 是否满足唯一性 ：由于 (Rank(C) < 2)（假设 (z) 是二维向量），解不唯一。
• 一般情况证明 ：对于 (k \times n) 矩阵 (C)，当 (k < n) 时，方程数量少于未知数数量，((C^T C)) 是奇异的，解不唯一，需要额外的约束条件。

1.2 存在性和不适定问题（问题 2.2）

• 定义“存在性”