19、命题逻辑推理：从SAT求解器到知识编译

命题逻辑推理：从SAT求解器到知识编译

1. QBF公式基础

QBF（量化布尔公式）在命题逻辑推理中有着重要地位。设 $\varphi$ 为 $f$ 的矩阵，序列 $Qx_1…Qx_n$ 是 $f$ 的前缀，其中 $Qx_1$ 是最外层量词，$Qx_n$ 是最内层量词。若所有变量都被正确量化，则 $f$ 是封闭的。在考虑公式有效性时，可对QBF公式进行改写。

量词的语义解释直观易懂：
- $\exists x.f \equiv f |T\to x \vee f |T\to x$
- $\forall x.f \equiv f |T\to x \wedge f |T\to x$

QBF公式 $f$ 的有效性基于这些规则递归定义：
- 若前缀为空，公式 $f$ 在“标准”逻辑中可满足，则其有效。
- 若 $f$ 写为 $\exists x.f$（或 $\forall x.f$），当且仅当 $f |T\to x$ 或（相应地）$f |T\to x$ 可满足时，$f$ 有效。

在一定程度上，可通过规则 $\forall x.(\forall y.f ) \equiv \forall y.(\forall x.f )$ 和 $\exists x.(\exists y.f ) \equiv \exists y.(\exists x.f )$ 操作量词顺序，但一般不能随意改变，否则可能改变公式语义。前缀中量词交替次数是衡量公式实际难度的重要指标。

可定义QBF公式 $f = Q_1X_1Q_2X_2…Q_nX_n\varphi$，其中 $Q_i \neq Q_{i + 1}$（$i \in [1, \ldots,