12、算法复杂度分析与搜索树详解

算法复杂度分析与搜索树详解

1. 算法复杂度对比

在算法设计中，复杂度分析是评估算法性能的关键。以 Select 算法为例，原始 Select 算法的最坏情况空间复杂度为 O(n)，因为如果每次递归步骤将搜索空间减少一个元素，会发生 O(n) 次递归调用。而修改后的 Select 算法最坏情况空间复杂度为 O(log₂(n))。

虽然修改后的 Select 算法在最坏情况下复杂度更优，但它存在一个巨大的常数因子影响其线性复杂度。平均而言，原始 Select 算法往往更快，不过它确实存在最坏情况复杂度极差的风险。

有人可能想通过使用修改后的 Select 算法来确定快速排序（QuickSort）的枢轴，以提高其性能。具体来说，使用修改后的 Select 算法将枢轴 x 确定为待排序子数组的中位数。这样做确实能保证快速排序的最坏情况复杂度等于最佳情况复杂度，但会使快速排序变得非常慢，其常数因子会使排序速度比堆排序（HeapSort）至少慢一个数量级，甚至两个数量级。

2. 离线算法与动态数据问题

到目前为止，我们探讨的算法本质上都是离线算法，即我们期望在开始求解之前完全确定输入。但对于一些问题，尤其是底层数据集不是静态而是动态变化的问题，这种方法可能不太实用。

例如，在线电话目录需要实时更新，以反映当前所有用户信息并清除前用户或条目。如果使用未排序的线性列表来表示目录，添加条目成本较低，但查找号码的复杂度为 O(n)（如果有 n 个条目）。因此，我们希望使用一种至少与二分查找效率相当的方案，而二分查找要求数组是有序的。但每次插入或删除条目时对整个数组进行排序显然不切实际，这时搜索树就派上用场了。

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