【CS.AL】算法复杂度分析 —— 渐进符号表示法

1000.01.CS.AL.1.3-算法基础-渐进符号表示法-Created: 2024-06-13.Thursday17:38

1 概述

渐进符号表示法用于描述算法的时间复杂度和空间复杂度，衡量算法的性能。它可以帮助我们分析和比较不同算法的效率，尤其是当输入规模变大时。常见的渐进符号包括大O符号（O）、Ω符号（Ω）、Θ符号（Θ）、o符号（o）和ω符号（ω）。

2 渐进符号详解

2.1 大O符号（O）

大O符号（Big O Notation） 用于描述算法在最坏情况下的时间复杂度或空间复杂度，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率上限。它帮助我们理解算法的效率上限。

定义：算法的时间复杂度为O(f(n))，如果存在正数c和n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足T(n) ≤ c * f(n)。

示例：

• 对于线性时间复杂度的算法，如简单的遍历数组，时间复杂度为O(n)。
• 对于二分查找算法，时间复杂度为O(log n)。

表示法：

• O(1)：常数时间复杂度。
• O(n)：线性时间复杂度。
• O(n²)：平方时间复杂度。
• O(log n)：对数时间复杂度。
• O(n log n)：线性对数时间复杂度。

2.2 Ω符号（Ω）

Ω符号（Big Omega Notation） 用于描述算法在最好情况下的时间复杂度或空间复杂度，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率下限。它帮助我们理解算法的最低效率。

定义：算法的时间复杂度为Ω(f(n))，如果存在正数c和n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足T(n) ≥ c * f(n)。

示例：

• 对于二分查找算法，最好情况是在第一次比较时就找到目标元素，其时间复杂度为Ω(1)。
• 对于快速排序算法，最好情况是每次都能均匀地将数组分成两部分，其时间复杂度为Ω(n log n)。

表示法：

• Ω(1)：常数时间复杂度。
• Ω(n)：线性时间复杂度。
• Ω(n²)：平方时间复杂度。

2.3 Θ符号（Θ）

Θ符号（Big Theta Notation） 用于描述算法在平均情况下的时间复杂度或空间复杂度，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率的紧确界限。它帮助我们理解算法的精确效率。

定义：算法的时间复杂度为Θ(f(n))，如果存在正数c1、c2和n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足c1 * f(n) ≤ T(n) ≤ c2 * f(n)。

示例：

• 对于简单的遍历数组，时间复杂度为Θ(n)。