28、微分方程数值求解方法

微分方程数值求解方法

1. 引言

在科学和工程领域，微分方程是描述各种现象的重要工具。然而，很多情况下难以获得解析解，因此需要采用数值方法来求解。本文将介绍一阶和高阶微分方程的数值求解方法，包括欧拉法、预测 - 校正法、龙格 - 库塔法，以及 MATLAB 中的 ODE 求解器，并通过具体例子展示这些方法的应用。

2. 基本概念

2.1 拉普拉斯算子

曲率可以通过二阶导数表达式（拉普拉斯算子）来表示：
$\nabla^{2}f(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}$
可以使用 del2 函数来计算，具体细节可参考 MATLAB 帮助文档。

2.2 数值微分函数

MATLAB 中常用的数值微分函数总结如下表：
| Command | Description |
| — | — |
| d = diff(x) | 返回一个向量 d，包含向量 x 中相邻元素的差值。 |
| [df_dx,df_dy] = gradient(f,dx,dy) | 计算函数 f(x, y) 的梯度，其中 df_dx 和 df_dy 分别表示 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，dx 和 dy 是与 f 的数值相关的 x 和 y 值的间距。 |
| d = polyder(p) </